В треугольнике $%ABC$%:

$%p - полупериметр$%

$%r,R $% - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Как найти сумму квадратов сторон треугольника($%a^2+b^2+c^2 = ?$%)

задан 14 Сен '19 22:50

10|600 символов нужно символов осталось
3

$%s = pr$% , $%R = \frac{abc}{4s} = \frac{abc}{4pr}$% $$p^2 - r^2 = p^2 - \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} = \frac{p^2(a+b+c) - p(ab+bc+ac) + abc}{p} $$ $$= p(a+b+c) - (ab+bc+ac) + 4rR =\frac{ a^2+b^2+c^2+8rR}{2} $$ Откуда: $$a^2+b^2+c^2 = 2p^2 - 2r^2 - 8rR$$ $$ab+bc+ac = \frac{4p^2 - 2p^2 + 2r^2 + 8rR }{2}= p^2 + r^2 + 4rR$$

ссылка

отвечен 15 Сен '19 0:10

изменен 15 Сен '19 0:12

10|600 символов нужно символов осталось
3

Посмотрите книгу Солтана и Мейдмана "Тождества и неравенства в треугольнике". (Весьма полезная вещь, и очень хорошее изложение.) Там в начале книги (стр. 17-18) выводится уравнение, коэффициенты которого зависят от $%p$%, $%r$%, $%R$%, корнями которого являются длины сторон треугольника. Вот как оно выглядит: $$x^3-2px^2+(p^2+r^2+4Rr)x-4pRr=0.$$ Доказывается это через прямые вычисления, и отсюда, среди прочего, следует однозначность задания треугольника рассматриваемыми тремя параметрами. (А выше выведены неравенства, которые должны выполняться в качестве необходимых и достаточных условий, чтобы треугольник существовал.)

Из этого уравнения сразу можно найти сумму квадратов сторон как $%(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$% через теорему Виета. Ответом будет $%2(p^2-r^2-4Rr)$%.

Там же на стр. 18 можно увидеть другие тождества -- для суммы кубов длин сторон, суммы обратных величин, и многое другое.

ссылка

отвечен 14 Сен '19 23:36

@falcao Хорошая книга ,спасибо!

(15 Сен '19 9:16) jao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×473

задан
14 Сен '19 22:50

показан
689 раз

обновлен
15 Сен '19 9:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru