Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

a^2+7|x+1|+5(x^2+2x+5)^0.5=2a+3|x-4a+1|

имеет хотя бы один корень.

Я начал раскрывать модули, но у меня какая-то фигня выходила (неравенство 4-й степени). Я думаю здесь есть какое-то более легкое решение.

Жду интересные решения)

задан 15 Сен '19 10:59

изменен 15 Сен '19 11:31

Замечу, что ваш вывод
a>=0 (т.к. 2-я степень + || + корень = полож. + модуль)
неверен. Никаких противопоказаний для
2-я степень + || + корень = отриц. + модуль
нет.
По самой задаче - ничего сверхъестественного нет. Обычная задача. Сделайте замену t=x+1 - жизнь упростится. Раскрывайте модули,переносите неизвестную в одну часть, параметр в другую и смотрите их минимумы/максимумы

(15 Сен '19 11:24) spades

Что-то я тупанул маленько. Спасибо, попробую так сделать.

(15 Сен '19 11:31) SirDemon

Так, а что нам дадут минимумы и максимумы? Или я опять что-то путаю? (я в 11 классе, поэтому мы так параметры не решали)

(15 Сен '19 12:07) SirDemon

Условно говоря, уравнение f(x)=g(a)

Уравнение имеет решение, если g(a) принимает значения в области значений f. То есть области значений f и g пересекаются. Вот и постарайтесь найти

(15 Сен '19 12:35) spades
10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, сделаем замену $%y=x+1$%. Получим уравнение $%a^2+7|y|+5\sqrt{y^2+4}=2a+3|y-4a|$%.

При $%y\ge4a$% получается $%a^2+7|y|+5\sqrt{y^2+4}=3y-10a$%, то есть $%(a+5)^2+7|y|-3y+5\sqrt{y^2+4}=25$%. Рассмотрим функцию $%f(y)=7|y|-3y+5\sqrt{y^2+4}\ge10$%, так как $%7|y|\ge3|y|\ge3y$%. Отсюда $%|a+5|\le15$%, то есть $%a\in[-5-\sqrt{15},-5+\sqrt{15}]$%.

Эти условия достаточны для существования корня, так как здесь $%a$% отрицательно, и при $%y=0$% получается $%f(0)=10\le25-(a+5)^2$%, где условие $%y\ge4a$% выполнено. Ввиду того, что функция $%f(y) > 9|y| > 25$% при некоторых $%y$%, из непрерывности вытекает существование корня уравнения $%f(y)=25-(a+5)^2$%.

Аналогично рассуждаем для $%y < 4a$%. Здесь уравнение принимает вид $%a^2-14a+7|y|+3y+5\sqrt{y^2+4}=0$%, то есть $%(a-7)^2+7|y|+3y+5\sqrt{y^2+4}=49$%. Здесь полагаем $%f(y)=7|y|+3y+5\sqrt{y^2+4}\ge10$% ввиду $%7|y|\ge3|y|\ge-3y$%, поэтому $%|a-7|\le39$%. Отсюда $%a\in[7-\sqrt{39},7+\sqrt{39}]$%, и значение параметра положительно. Значит, при $%y=0$% выполнено условие $%y < 4a$%, и $%f(0)=10\le49-(a-7)^2$%. При достаточно больших $%y$%, как и выше, имеем $%f(y) > 49$%, то есть знак неравенства меняется. Этого достаточно для наличия корня.

Итого $%a\in[-5-\sqrt{15},-5+\sqrt{15}]\cup[7-\sqrt{39},7+\sqrt{39}]$%.

Задача похожа на эту, хотя есть некоторые отличия.

ссылка

отвечен 15 Сен '19 12:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Переносим слагаемое с модулем у правую часть. Наименьшее значение левой части будет равно a^2+10 при x=-1, а наибольшее значение правой части 2a+3abs(-4a) также при х=-1. Тогда уравнение будет иметь корни при выполнении неравенства a^2+10<=2a+3abs(-4a)

ссылка

отвечен 23 Янв 20:18

изменен 24 Янв 1:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,620
×3,790
×915
×523
×256

задан
15 Сен '19 10:59

показан
500 раз

обновлен
24 Янв 1:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru