алгебра - Уравнение с параметром

Прежде всего, сделаем замену $%y=x+1$%. Получим уравнение $%a^2+7|y|+5\sqrt{y^2+4}=2a+3|y-4a|$%.

При $%y\ge4a$% получается $%a^2+7|y|+5\sqrt{y^2+4}=3y-10a$%, то есть $%(a+5)^2+7|y|-3y+5\sqrt{y^2+4}=25$%. Рассмотрим функцию $%f(y)=7|y|-3y+5\sqrt{y^2+4}\ge10$%, так как $%7|y|\ge3|y|\ge3y$%. Отсюда $%|a+5|\le15$%, то есть $%a\in[-5-\sqrt{15},-5+\sqrt{15}]$%.

Эти условия достаточны для существования корня, так как здесь $%a$% отрицательно, и при $%y=0$% получается $%f(0)=10\le25-(a+5)^2$%, где условие $%y\ge4a$% выполнено. Ввиду того, что функция $%f(y) > 9|y| > 25$% при некоторых $%y$%, из непрерывности вытекает существование корня уравнения $%f(y)=25-(a+5)^2$%.

Аналогично рассуждаем для $%y < 4a$%. Здесь уравнение принимает вид $%a^2-14a+7|y|+3y+5\sqrt{y^2+4}=0$%, то есть $%(a-7)^2+7|y|+3y+5\sqrt{y^2+4}=49$%. Здесь полагаем $%f(y)=7|y|+3y+5\sqrt{y^2+4}\ge10$% ввиду $%7|y|\ge3|y|\ge-3y$%, поэтому $%|a-7|\le39$%. Отсюда $%a\in[7-\sqrt{39},7+\sqrt{39}]$%, и значение параметра положительно. Значит, при $%y=0$% выполнено условие $%y < 4a$%, и $%f(0)=10\le49-(a-7)^2$%. При достаточно больших $%y$%, как и выше, имеем $%f(y) > 49$%, то есть знак неравенства меняется. Этого достаточно для наличия корня.

Итого $%a\in[-5-\sqrt{15},-5+\sqrt{15}]\cup[7-\sqrt{39},7+\sqrt{39}]$%.

Задача похожа на эту, хотя есть некоторые отличия.