Необходимо показать, что метрическое пространство $%c_0$% полно, где $% c_0 $% - это пространство бесконечных последовательностей, сходящихся к нулю с метрикой $% \rho(x, y) = \underset{i\ge1}{\max} |x_i - y_i |$% .

задан 16 Сен '19 18:18

10|600 символов нужно символов осталось
4

Достаточно доказать, что $%c_0$% -- замкнуто. Тогда оно будет полно, как замкнутое подпространство полного пространства $%l_\infty$%. Пусть $%x_n\in c_0$% и $%x_n\to x_0$%. Пусть $%x_n=(x_1^n,x_2^n,...)$%. Поскольку сходимость по норме $%c_0$% эквивалентна равномерной сходимости относительно номеров координат, то $%x_i^n\overset{i}{\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows}} x_i^0$%. С другой стороны, по определению пространства $%c_0$% для всех $%n\in\mathbb{N}$% $%\lim\limits_{i\to\infty}x_i^n=0$%. Таким образом, выполнены все условия теоремы о перестановке двух пределов, согласно которой $%\exists\lim\limits_{i\to\infty}x_i^0=0$%, т.е. $%x_0\in c_0$%, что и требовалось.

Можно было бы доказывать стандартно по определению, через фундаментальность, но так короче.


Для сравнения, изложу по определению. Пусть $%x_n\in c_0$% -- фундаментальна, т.е. $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists N\in\mathbb{N}$%: $%\forall n,m\geq N$% $%\rho(x_n,x_m)<\varepsilon$%, т.е. $%\forall i$% $%|x_i^n-x_i^m|<\varepsilon$%. Таким образом, $%\forall i$% числовая последовательность $%\{x_i^n\}$% фундаментальна, поэтому по критерию Коши $%\forall i$% $%\exists\lim\limits_{n\to\infty}x_i^n=x_i$%. Надо доказать, что $%x=(x_i)\in c_0$%. В определении фундаментальности перейдём к пределу при $%m\to\infty$%, тогда получим, что $%\forall i$% $%|x_i^n-x_i|\leq\varepsilon$%, начиная с некоторого $%N$%. Кроме того, по определению $%c_0$% $%|x_i^N|<\varepsilon$%, начиная с некоторого $%i$%, поэтому, начиная с этого $%i$%, $%|x_i|\leq|x_i^N-x_i|+|x_i^N|\leq2\varepsilon$%, что доказывает принадлежность $%x$% пространству $%c_0$%. То, что $%x_n\overset{c_0}{\to} x$% следует из полученного выше: $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists N\in\mathbb{N}$%: $%\forall n\geq N $% $%\forall i$% $%|x_i^n-x_i|\leq\varepsilon$%.

ссылка

отвечен 16 Сен '19 18:54

изменен 16 Сен '19 20:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×820

задан
16 Сен '19 18:18

показан
515 раз

обновлен
16 Сен '19 20:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru