Вопрос: существует ли линейно упорядоченный по включению континуальный набор множества подмножеств натуральных чисел?

Попытка ответа: можно попробовать конструктивно построить такое множество. Берем множество подмножеств натуральных чисел (мощность множества - континуум), выбрасываем все подмножества конечной мощности (остается континуум счетных подмножеств, различных между собой, обозначим это мн - во S). Это множество равномощно отрезку [0,1], поэтому есть биекция $%f: [0,1] \rightarrow S$% (нужно ее, наверное, придумать. Или необязательно?) Тогда каждому множеству соответствует число из отрезка [0,1]. Начнем выстраивать линейно упорядоченный набор: $%g: [0,1] \rightarrow S, g(0) = f(0), g (t) = \bigcup\limits_{i \in [0,t]} f(i)$%. Получается линейно упорядоченное множество мощностью континуум.

задан 17 Сен '19 22:48

1

@GVolskiy: такая конструкция, наверное, проходит. Можно ничего не выкидывать, так как мы знаем, что [0,1] и 2^N равномощны, поскольку континуальны. Биекция существует, а строить её "конструктивно" не требуется.

Можно, правда, по-другому: взять счётное подмножество рациональных чисел отрезка, и для каждого t из (0,1) рассмотреть множество всех рациональных < t.

(18 Сен '19 0:10) falcao

@falcao, можно, пожалуйста, подробнее про Ваш (другой) вариант?

(18 Сен '19 0:19) GVolskiy
1

@GVolskiy: а какие нужны подробности? Для каждого t (их континуум) я рассмотрел счётное множество рациональных чисел отрезка, меньших t. При разных t множества разные, их континуум, они линейно упорядочены по включению. То, что здесь фигурирует другое начальное счётное множество (Q вместо N), не имеет значения.

(18 Сен '19 0:23) falcao

@falcao, да, извините, подумал (почему-то) что t тоже рациональное число. Теперь понял, спасибо.

(18 Сен '19 0:29) GVolskiy

@GVolskiy: там было сказано "для каждого t из (0,1)", а интервал состоит из всех действительных чисел.

(18 Сен '19 0:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Мне кажется, решение, предложенное автором вопроса, содержит как минимум следующий недостаток: нет гарантии, что отображение g инъективно. Может такое случиться, что, например, f(0)=N. Тогда g(t)=N \forall t>0, так как происходит объединение N с его подмножествами. И вот получилось, что g отображает отрезок [0;1] в один элемент - в N. Но тут проблема из-за того, что "дурацкая" биекция f. Так что чтобы решение, предложенное автором, работало, нужно проговорить ограничения на биекцию f между последовательностями нулей и единиц и подмножествами натурального ряда

ссылка

отвечен 12 Сен 18:43

Да, там напрямую не проходит, хотя можно как-то доработать. Но в комментарии было сказано, что нужно делать. Там конструкция простая.

(12 Сен 20:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×623
×251

задан
17 Сен '19 22:48

показан
335 раз

обновлен
12 Сен 20:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru