$$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{t+\frac{1}{n}}}$$ Как доказать, что ряд условно сходится при $%t \in (0,1]$%?

задан 19 Сен '19 10:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сразу заметим, что абсолютной сходимости нет, так как для ряда с положительными членами $%|a_n|=\dfrac1{n^{t+1/n}}\sim\dfrac1{n^t}$% применяем признак сравнения, получая расходимость.

Для доказательства условной сходимости достаточно применить признак Лейбница, показав, что последовательность $%|a_n|$% монотонно стремится к нулю, начиная с некоторого члена. Это значит, что $%n^{t+1/n}$% монотонно стремится к бесконечности при $%n\ge n_0$%. Заменяем $%n$% на $%x$% и находим производную логарифма: $%((t+\frac1x)\ln x)'=-\frac1{x^2}\ln x+(t+\frac1x)\frac1x=\frac{tx+1-\ln x}{x^2} > 0$% при $%x\ge x_0$%, так как логарифм растёт быстрее линейной функции.

ссылка

отвечен 19 Сен '19 10:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,950

задан
19 Сен '19 10:09

показан
160 раз

обновлен
19 Сен '19 10:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru