Пусть M - множество точек на плоскости. Рассмотрим два предиката на М.

B(a,b,c) - "точки a,b,c лежат на одной прямой, причем b расположена между a и c";

D(a,b,c,d) - "расстояние от точки a до b равно расстоянию от c до d".

Выразить в структуре (M;B,D) следующие предикаты:

p(a,b,c,d) - "отрезки ab и cd имеют единственную общую точку";

p(a,b,c,d) - "отрезки ab и cd параллельны";

p(a,b,c,d) - "точки a,b,c,d являются вершинами ромба".

задан 19 Сен '19 17:26

изменен 19 Сен '19 17:27

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь есть некоторые тонкости, которые в принципе можно учитывать, но можно и не учитывать.

Когда говорится об отрезке ab, то может подразумеваться, что это на самом деле отрезок, то есть a не равно b. Для первого пункта задачи это не важно. Для других пунктов, когда говорится о параллельности, это существенно, так как непонятно, о какой прямой идёт речь при a=b. Поэтому начнём с того, что на всякий случай выразим предикат q(a,b), означающий a=b. Сделать это просто, полагая D(a,b,a,a). В тех случаях, когда полагается считать, что точки различны, можно добавлять отрицание этого предиката.

1) Если отрезки ab и cd имеют общую точку x, то существует x такая, для которой B(a,x,b) & B(c,x,d). К соответствующей формуле через конъюнкцию добавляем условие единственности: для любых x,y из конъюнкции условий B(a,x,b) & B(c,x,d) & B(a,y,b) & B(c,y,d) следует x=y, то есть q(x,y).

2) Здесь считаем, что a не равно b, и c не равно d, чтобы задача имела смысл. Если отрезки параллельны, то прямые ab и cd либо совпадают, либо не пересекаются.

Предположим, что точка x лежит на прямой ab. Тогда либо x лежит между a,b, либо a лежит между x,b, либо b лежит между a,x. Записываем предикат L(x,a,b) в виде B(a,x,b) V B(x,a,b) V B(a,b,x).

Условие совпадения двух прямых приобретает вид: (для любого x)(L(x,a,b)<->L(x,c,d)). Условие, что две прямые не имеют общих точек, записывается как (для любого x) НЕ(L(x,a,b)&L(x,c,d)). Условие параллельности отрезков будет дизъюнкцией двух указанных условий.

3) Легко написать формулу, говорящую о том, что все расстояния ab, bc, cd, da попарно равны. Чтобы abcd был ромбом, нужно ещё добавить условия попарного несовпадения точек. В частности, надо исключить возможности a=c, b=d. Есть ещё тонкость: если 4 точки являются вершинами ромба, то ромбом может быть и abdc вместо abcd. То есть тут должна быть дизъюнкция с условием равенства длин ab=bd=dc=ca.

ссылка

отвечен 19 Сен '19 21:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,113
×79

задан
19 Сен '19 17:26

показан
308 раз

обновлен
19 Сен '19 21:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru