|
Матрица симметрична. Для того, чтобы симметрическая матрица была унитарной, необходимо и достаточно, чтобы все её собственные значения были унимодулярны. Данная матрица приводится одномерным подпространством $%U,$% натянутым на $%u,$% и его ортогональным дополнением $%V.$% При этом на $%U$% матрица действует, как умножение на $%1+\alpha,$% а на $%V$% - как единичная матрица. Значит, её спектр состоит из собственных значений $%1$% и $%1+\alpha$% (если $%\alpha \ne 0$%). Следовательно, она унитарна тогда и только тогда, когда $$|1+\alpha|=1.$$ отвечен 20 Сен '19 2:26 
splen |
|
Пусть $%A=I+\alpha uu^{\ast}$%. Тогда $%A^{\ast}=I+\bar{\alpha}(uu^{\ast})^{\ast}=I+\bar{\alpha}uu^{\ast}$%. Отсюда $%AA^{\ast}=I+(\alpha+\bar{\alpha})(uu^{\ast})+\alpha\bar{\alpha}uu^{\ast}uu^{\ast}$%. Заметим, что $%u^{\ast}u$% есть матрица 1x1, состоящая из элемента $%\|u\|_2=1$%, то есть произведение четырёх матриц упрощается до $%uu^{\ast}$%, и в итоге получается $%AA^{\ast}=I+(\alpha+\bar{\alpha}+\alpha+\bar{\alpha})uu^{\ast}$%. Должно получиться $%I$%, поэтому коэффициент в правой части равен нулю, так как матрица $%uu^{\ast}$% ненулевая. Полагая $%\alpha=x+iy$%, имеем $%\alpha+\bar{\alpha}+\alpha+\bar{\alpha}=2x+x^2+y^2=0$%, откуда $%(x+1)^2+y^2=1$%. Это значит, что точка $%x+1+iy$% принадлежит единичной окружности, то есть имеет вид $%e^{i\phi}$% для некоторого $%\phi$%. Отсюда $%\alpha=e^{i\phi}-1$%. отвечен 20 Сен '19 1:54 
falcao |