Найти минимум функции($%n,m$% -данные натуральные числа) на отрезке $%(0,+\infty)$% $$f(x) = x^m + \frac{1}{x^n}$$ если $%НОК(n,m) = d$%.

задан 20 Сен '19 16:23

f'(x)=mx^{m-1}-nx^{-n-1}=0

x^{m+n}=n/m

x0=(n/m)^{1/(m+n)} точка минимума (по смене знака)

f(x0)=(n/m)^{m/(m+n)}+(m/n)^{n/(m+n)}

Выражать удобнее через m/n, а на d только сокращение происходит.

(20 Сен '19 17:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Применяем неравенство о средних для $%\frac{d}{m} + \frac{d}{n}$% чисел: $$x^m + \frac{1}{x^n} = x^m\left ( \frac{m}{d}+.....+\frac{m}{d} \right ) + \frac{1}{x^n}\left ( \frac{n}{d} +.....+\frac{n}{d}\right )\geq d\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right )\sqrt[\alpha]{\frac{x^dm^{\frac{d}{m}}n^{\frac{d}{n}}}{x^dd^{\alpha}}} =$$

$$=\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right )\sqrt[\alpha]{n^{\frac{d}{n}}m^{\frac{d}{m}}}$$

где $%\alpha = d\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right )$%

После упрощений получается:

$$\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right )\sqrt[\frac{m+n}{mn}]{n^{\frac{1}{n}}m^{\frac{1}{m}}}$$

ссылка

отвечен 20 Сен '19 17:09

изменен 20 Сен '19 17:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,440
×623
×50

задан
20 Сен '19 16:23

показан
131 раз

обновлен
20 Сен '19 17:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru