|
Найти минимум функции($%n,m$% -данные натуральные числа) на отрезке $%(0,+\infty)$% $$f(x) = x^m + \frac{1}{x^n}$$ если $%НОК(n,m) = d$%. задан 20 Сен '19 16:23 
panda201 |
|
Применяем неравенство о средних для $%\frac{d}{m} + \frac{d}{n}$% чисел: $$x^m + \frac{1}{x^n} = x^m\left ( \frac{m}{d}+.....+\frac{m}{d} \right ) + \frac{1}{x^n}\left ( \frac{n}{d} +.....+\frac{n}{d}\right )\geq d\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right )\sqrt[\alpha]{\frac{x^dm^{\frac{d}{m}}n^{\frac{d}{n}}}{x^dd^{\alpha}}} =$$ $$=\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right )\sqrt[\alpha]{n^{\frac{d}{n}}m^{\frac{d}{m}}}$$где $%\alpha = d\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right )$% После упрощений получается: $$\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right )\sqrt[\frac{m+n}{mn}]{n^{\frac{1}{n}}m^{\frac{1}{m}}}$$отвечен 20 Сен '19 17:09 
potter |
f'(x)=mx^{m-1}-nx^{-n-1}=0
x^{m+n}=n/m
x0=(n/m)^{1/(m+n)} точка минимума (по смене знака)
f(x0)=(n/m)^{m/(m+n)}+(m/n)^{n/(m+n)}
Выражать удобнее через m/n, а на d только сокращение происходит.