Точка внутри квадрата находится на расстоянии $%\sqrt{17} , 5 , 2$% от трех его вершин.Чему равна его площадь ?

задан 21 Сен '19 8:43

изменен 21 Сен '19 8:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%a$% -- сторона квадрата. Обозначим через $%x$%, $%y$% расстояния от точки до двух сторон $%AB$%, $%BC$%, где $%A$%, $%B$%, $%C$% -- рассматриваемые три вершины. Если $%PB=\sqrt{17}$%, то рассматриваем систему уравнений $%x^2+y^2=17$%, $%x^2+(a-y)^2=25$%, $%(a-x)^2+y^2=4$%. Вычитая первое уравнение из двух остальных, имеем $%a^2-2ay=8$%, $%a^2-2ax=-13$%. Отсюда $%x=\frac{a}2+\frac{13}{2a}$%, $%y=\frac{a}2-\frac4a$%. Подставляя в первое уравнение, имеем $%\frac{a^2}4+\frac{169}{4a^2}+\frac{13}2+\frac{a^2}4+\frac{16}{a^2}-4=17$%, то есть $%\frac{S}2+\frac{233}{4S}=\frac{29}2$%, где $%S=a^2$% -- площадь квадрата. Далее $%S$% находим из квадратного уравнения и проверяем существование такой конфигурации. Корни здесь не особо приятные, поэтому досчитывать до явного ответа не хочется.

Аналогично составляются остальные системы для случаев $%PB=5$% и $%PB=2$%. Там также возникают квадратные уравнения. Какие-то из них могут не иметь решения, а для остальных случаев анализируем все возникающие при этом варианты. Ответов к задаче (то есть возможных решений), скорее всего, получится не один, а несколько.

ссылка

отвечен 21 Сен '19 10:27

изменен 21 Сен '19 12:48

С обозначениями путаница какая-то.

(21 Сен '19 12:21) FEBUS
1

@FEBUS: да, я опечатался. Имел в виду расстояние до B от точки внутри квадрата. Сейчас исправлю.

(21 Сен '19 12:47) falcao

Думаю, решение одно. Иначе, не представляю, как двигать 4-угольник с заданными сторонами и равными перпендикулярными диагоналями.

(21 Сен '19 12:57) FEBUS

@FEBUS: я не проверял -- там числовые величины надо сравнивать. При беглом обзоре мне показалось, что для двух случаев у квадратного уравнения есть корни, причём в одном из них даже два положительных.

(21 Сен '19 13:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,119
×54

задан
21 Сен '19 8:43

показан
379 раз

обновлен
21 Сен '19 13:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru