Вы идете один ночью через парк с большой суммой денег. Неожиданно, на углу вас останавливает математик. Он приставляет к вашей голове ружье и говорит: у меня есть генератор случайных чисел с настраиваемым мат. ожиданием. Чем точнее ты угадаешь математическое ожидание по выборке из n значений, тем меньше ты мне заплатишь. Сумма ваших потерь будет равна квадрату отклонения от выставленного мат. ожидания. Если откажетесь он вышибет вам мозги. Устройство-генератор вы не видите, и вид распределения не знаете. Ваши действия? Как оцените мат. ожидание? Как формализуете задачу?

задан 21 Сен 19:32

Думаю большиноство согласятся, что ответом должно быть выборочное среднее. Есть другие вариенты?

(21 Сен 20:51) Yeg0R
1

Наверное, нет. Идея в том, что при больших n это среднее стремится к матожиданию по закону больших чисел.

(21 Сен 21:13) falcao

Но одним законом больших чисел решение задачи не обосновать.

(21 Сен 21:23) Yeg0R

@Yeg0R: а каков критерий обоснования? На каком уровне поставлена задача, на таком и дан ответ.

(21 Сен 22:25) falcao

@falcao: Интересует каким образом эту задачу можно посвить формально для получения логичного ответа без существнных упрощений задачи. Критерий обоснования - последовательноть выводов. Например, можно использовать минимаксный подход. $$ \theta^{*}(x) =arg \min \limits_{\hat{\theta}(x)} \max \limits_{P} E (\hat{\theta}(x)-E(x))^2 $$ Но в такой посттановке любая оценка ожидания равно бесполезна, так как ведет как бесконечным потерям.

(21 Сен 22:41) Yeg0R

Например, рассмотрим разложение на смещение и дисперсию. $$ \max \limits_{P} E (\hat{\theta}(x)-E(x))^2 = \max \limits_{P} (E(x) - E (\hat{\theta}(x)))^2 + E(\hat{\theta}(x)-E(\hat{\theta}(x)))^2 $$

Тогда, если оценка смещенная, то устремление центрального момента к бесконечноти будет вести к бесконечнм потерям. А если оценка не смещенная, то она однозначно не ограниченная функция. А для дисперсии любой неограниченной функции можно подобрать распределение ведущее к бесконечной дисперсии и следовательно к бесконечнм потерям.

(21 Сен 22:46) Yeg0R
1

@Yeg0R: на мой взгляд, это не та задача, анализ которой может вести к каким-то содержательным математическим выводам. Если я укажу нечто отличное от матожидания, то я проиграю даже в случае константного распределения. При больших значениях n, среднее близко к матожиданию с вероятностью, стремящейся к 1. Это показывает, что указание других значений будет ошибкой независимо от того, по какой формуле рассчитана оценка.

То, что при распределении с большой дисперсией можно запросто проиграть, ни для кого не секрет. Но если даже среднее арифметическое не помогает, то ничего не поможет.

(22 Сен 14:46) falcao

@falcao: Спасибо за ответ. Согласен, задача сотавленна с большой степенью неопределенности. Но я считаю, что эту неопределенность можно разрешить более обосновонно. Да, можно рассмотреть константное распределение, но для него будет отлично работать огромный класс функций среднего значения, такие как среднее взвешенное (в том числе с отрицательными весами), среднее гармотническое, медиана, среднее Колмогорова и т.п. Можно ограничиться этим классом функций, для сужения поиска решений. Полностью согласен, что константное распределение не должно приводить к потерям.

(22 Сен 15:50) Yeg0R

Но думаю есть способ более объективного сравнения оценкок без перехода к закону больших чисел. Если бы функция потерь имела бы более сложный вид (не монотонная), его применить было бы невозможно.

(22 Сен 15:50) Yeg0R
1

@Yeg0R: я рассматриваю стратегию "назвать среднее значение" как простую практическую рекомендацию. Вспоминается рассказ (не важно -- подлинный или нет), когда на стадионе в Испании разыгрывали быка, и он доставался тому, кто точнее всего угадает его вес. Победил математик, отвечавший последним, запоминавший ответы, и усреднивший их :)

Теоретического значения в таком виде задача, на мой взгляд, не имеет. Если кто-то будет называть среднее квадратическое, то он, возможно, выиграет для класса распределений K1, а я для класса K2. Установить, какой из двух классов "важнее", вряд ли возможно.

(22 Сен 21:23) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,589
×95
×77

задан
21 Сен 19:32

показан
80 раз

обновлен
22 Сен 21:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru