Докажите, что существует возрастающая биекция множества рациональных $%\mathbb{Q}$% чисел на множество чисел вида $%\frac{m}{2^n}$% где $%m, n \in \mathbb{Z}$%.
Не знаю никакого другого способа доказательства, кроме конструктивного. Попытался построить такую биекцию $%\frac{n}{1} \rightarrow \frac{n}{2^0}, \frac{n + 1}{1} \rightarrow \frac{n + 1}{2^{0}} $% а все, что между двумя такими целыми переходит так: $%\frac{m}{n} \rightarrow \frac{m}{2^n}$%. Но проблема при таком построении в сократимых дробях, либо дроби $%\frac{m}{n}$% соответствует множество дробей $%\{\frac{km}{2^{kn}} | k \in \mathbb{N}\}$%, либо в соответствие этому множеству я не поставил ничего.

задан 21 Сен '19 23:51

изменен 21 Сен '19 23:53

Хотя, я бы подумал еще

(22 Сен '19 0:44) GVolskiy
10|600 символов нужно символов осталось
2

Это довольно красивая и явная конструкция. Достаточно установить биекцию между рациональными и двоично-рациональными точками единичного отрезка. Крайние точки при этом остаются на месте, и на всю числовую прямую биекция продолжается периодически.

Нужно рассмотреть дроби Фарея, вписывая между соседними дробями a/b < c/d дробь (a+c)/(b+d). Начать надо с 0/1 и 1/1; между ними будет 1/2. Посередине между ними также 1/2, то есть она переходит в себя. Теперь пополняем ряд Фарея, получая 0/1 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1/1, а для делений отрезка пополам, где числа двоично-рациональны, имеем 0 < 1/4 < 1/2 < 3/4 < 1. Отображаем 1/3 на 1/4 и 2/3 на 3/4. И так далее: на следующем шаге будет 1/4 -> 1/8, 2/5 -> 3/8, 3/5 -> 5/8, 3/4 -> 7/8. Дроби Фарея все несократимы, и в ходе этого процесса все рациональные дроби интервала (0,1) по разу появятся.

Полученная функция даже непрерывна. Её график можно увидеть здесь. Он чем-то напоминает канторову лестницу, но участков постоянства здесь уже нет.

ссылка

отвечен 22 Сен '19 1:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×584
×237

задан
21 Сен '19 23:51

показан
179 раз

обновлен
22 Сен '19 1:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru