Существует ли острый угол $%\alpha ≠ 0$% такой ,что оба числа $%\sqrt{\sin^2\alpha - \sin2\alpha +1}$% и $%\sin\alpha$% - рациональные ?

задан 22 Сен '19 17:26

изменен 22 Сен '19 17:27

10|600 символов нужно символов осталось
4

Я приведу неполное решение -- до того места, до которого дошёл в рассуждениях. В конце получается диофантово уравнение 4-й степени, у которого, судя по всему, решение только тривиальное ($%m=n=1$%), но доказывать это я пока не умею. Может, кто из участников сможет продолжить.

Квадрат первого числа рационален, и из $%\sin\alpha\ne0$% следует, что $%\cos\alpha$% рационален. Тогда можно положить $%\cos\alpha=\frac{1-k^2}{1+k^2}$%, $%\sin\alpha=\frac{2k}{1+k^2}$% для некоторого рационального $%k\in(0,1)$%, согласно известной параметризации рациональных точек единичной окружности. Тогда $%4k^2-4k(1-k^2)+(1+k^2)^2=k^4+4k^3+6k^2-4k+1$% должно быть квадратом рационального числа.

Данное выражение равно $%(k+1)^4-8k=r^4-8r+8$%, где $%r=k+1\in(1,2)$% рационально. Полагая $%r=\frac{m}n$%, где числитель и знаменатель взаимно просты, приходим к уравнению $%m^4-8mn^3+8n^4=N^2$% в натуральных числах ($%n < m < 2n$%).

Числа $%m$%, $%n$% имеют одинаковую чётность. Предположим, что они оба чётны. Тогда $%N^2$% делится на 8, и $%N$% делится на 4. Значит, $%8n^3(n-m)$% делится на 16, но это невозможно при нечётном $%n$%, и получается противоречие с взаимной простотой. Значит, $%m$% и $%N$% нечётны.

Дальше напрашивается идея записать всё в виде $%(m^2-N)(m^2+N)=8n^3(n-m)$%, и кое-какая информация отсюда извлекается, но до конца довести не удалось.

ссылка

отвечен 23 Сен '19 1:17

@falcao Эта задача уже была ,просто переформулирована

(23 Сен '19 18:30) potter

@potter: ту задачу я помню. Интересно было бы проследить процесс переформулирования. Здесь диофантово уравнение приобрело совсем иной вид.

(23 Сен '19 19:11) falcao
1

alt text

$$AB = \sqrt{a^2(1 + \sin^2 \alpha) - 2a^2 \sin\alpha \cos\alpha} = a\sqrt{\sin^2\alpha -\sin2\alpha+1}$$

(23 Сен '19 20:31) potter

@potter: значит, ответ на поставленный вопрос отрицателен.

(23 Сен '19 20:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×957
×327

задан
22 Сен '19 17:26

показан
315 раз

обновлен
23 Сен '19 20:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru