существует ли такая функция f, что для любого действительного значения x выполнено равенство x=f(|x|)+|f(x)|? Найдите все функции f такие, что для любого действительного значения x выполнено равенство x=-1/2*f(|x|)+|f(x)|

задан 22 Сен '19 19:40

Первая половина вопроса была здесь.

(22 Сен '19 21:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

1)

$%x\geq 0$% $%⇒$% $% x = f(x) + |f(x)|$% $%⇒$% $%f(x) = \frac{x}{2}$%

$%x<0$% $%⇒$% $%x = f(-x) + |f(x)| $% $%⇒$% $%|f(x)| = \frac{3x}{2} < 0$% - противоречие.

2)$%x\geq 0 $% $%⇒$% $% x = -\frac{1}{2} (f(x) + |f(x)|)$% $%⇒$% $%f(x) \geq 0$% $% ⇒$% $%f(x) = -x \leq 0$%- противоречие.

ссылка

отвечен 22 Сен '19 20:19

изменен 22 Сен '19 20:25

Второе уравнение неверно прочитано

(22 Сен '19 20:58) lanalana

@lawyer: хотя на ответ это не влияет, но f(0) здесь в начале пункта 1 может быть любым числом <=0.

@lanalana: во втором пункте, в том виде как он написан, функции имеются. Там сначала берём x>=0 и получаем, что f(x) равно 2x или -2x/3. Потом подставляем отрицательное x=-t, где t > 0. Тогда t=-x=(1/2)f(t)-|f(-t)|. Если f(t)=2t, то f(-t)=0. При f(t)=-2t/3 получаем отрицательный модуль -- противоречие. Поэтому f(x)=2x для всех x>=0 и f(x) нулевая при всех x<=0.

(22 Сен '19 21:15) falcao

Спасибо за ответ)

(22 Сен '19 21:51) lanalana

Как будет выглядеть решение в общем виде для уравнения x=a*f(|x|)+|f(x)|?

(26 Сен '19 13:04) lanalana

@lanalana: там всё зависит от значения a, в общем случае трудно анализировать. Но метод понятен: надо подставлять x > 0, потом x < 0, и смотреть варианты.

(26 Сен '19 14:02) falcao

Проверка:f(x)=-2x/3 для x>0 в уравнении x=-1/2 f(|x|)+|f(x)|. x=(-1/2)*(-2x/3)+|-2x/3|; x=(x/3)+2x/3; х=х. Где ошибка?

(26 Сен '19 14:47) lanalana

@lanalana: здесь пока никакой ошибки нет. Для положительных значений всё верно, и там возможно два значения. Однако в условии функция определена на всей прямой. То есть надо подставить отрицательные x и посмотреть, что при этом будет. Окажется, что наличие положительной точки с условием f(x)=-2x/3 ведёт к появлению отрицательного x, для которого |f(x)| < 0. Такого быть не может, и остаётся лишь случай f(x)=2x при x > 0. При этом в точке -x значение будет нулевым.

(26 Сен '19 19:32) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×684
×7

задан
22 Сен '19 19:40

показан
511 раз

обновлен
26 Сен '19 19:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru