Дан эллипс x^2/16 + y^2/9 = 1. Найти уравнение его хорды, которая проходит через точку A(2,1) и делится этой точкой пополам.

задан 22 Сен '19 23:56

изменен 22 Сен '19 23:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если точка $%A(2;1)$% середина отрезка, то концы отрезка должны иметь координаты $%(2\pm \alpha; \;1\pm\beta)$%... Подставляем в уравнение эллипса и получаем два равенства $$ \frac{(2\pm \alpha)^2}{16}+\frac{(1\pm\beta)^2}{9}=1 $$ Раскроем скобки и вычтем из одного равенства другое... $$ \frac{8\alpha}{16}+\frac{4\beta}{9}=0 \quad\Rightarrow\quad 9\alpha=-8\beta \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \alpha=8t \\ \beta=-9t \end{cases} $$ Итого, получаем параметрическое уравнение прямой... $$ \begin{cases} x=2+8t \\ y=1-9t \end{cases} $$

ссылка

отвечен 23 Сен '19 2:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим u=x/4, v=y/3. При таком преобразовании эллипс переходит в единичную окружность, а точка A перейдёт в A'(1/2,1/3). Прямая OA' имеет уравнение v=2u/3. Хорда окружности, делящаяся точкой A' пополам, перпендикулярна этой прямой, то имеет угловой коэффициент -3/2. Уравнение хорды v=-3u/2+c, где c находим из условий u=1/2, v=1/3. Получается v=-3u/2+13/12. Подставляя формулы замены, имеем y/3=-3x/8+13/12, откуда y=-9x/8+13/4. Это ответ, так как при аффинном преобразовании середины отрезков сохраняются.

ссылка

отвечен 23 Сен '19 0:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×801
×555
×30

задан
22 Сен '19 23:56

показан
313 раз

обновлен
23 Сен '19 2:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru