Сумма трeх наибольших натуральных делителей натурального числа N в 10 раз больше суммы трeх наименьших его натуральных делителей. Найдите все возможные значения N.

задан 23 Сен '19 11:23

10|600 символов нужно символов осталось
3

Наименьший делитель N, отличный от 1 -- это простое число p. Следующий по величине -- либо p^2, либо простое число q. Рассмотрим оба случая.

1) 1 < p < p^2 -- три наименьших делителя N. Тогда N=p^2m, и три наибольших делителя в сумме дают p^2m+pm+m=m(1+p+p^2). Отсюда m=10, и N делится на 2, то есть p=2. При этом N=p^2m=40. Это значение подходит.

2) Теперь пусть 1 < p < q -- три наименьших делителя. Здесь N=pqm, и сумма трёх наибольших делителей равна mpq+mq+mp=m(p+q+pq)=10(p+q+1). Отсюда m < 10. Заметим, что число p+q+pq=(p+1)(q+1)-1 нечётно. Значит, m чётно, так как правая часть чётна. Следовательно, N делится на 2, и тогда p=2. Получается, что N делится на 4, откуда q=3. Подставляя, имеем 11m=60, но тогда m не целое.

Итого есть только число 40 с данным свойством.

ссылка

отвечен 23 Сен '19 16:19

@falcao, большое спасибо!

(24 Сен '19 1:41) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Это (как и другие две, предложенные anna48) задача с текущей олимпиады :( http://yumsh.ru/cms/sites/default/files/zao_45678_2019.pdf

ссылка

отвечен 28 Сен '19 15:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,018

задан
23 Сен '19 11:23

показан
888 раз

обновлен
28 Сен '19 15:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru