Что значит "существует единственное с точностью до изоморфизма поле комплексных чисел?". Значит ли это, что если мы найдем еще одно поле, которые включает поле вещественных чисел как подполе и содержит мнимую единицу, то это поле будет изоморфно C? И правильно ли я понимаю, что, кроме того, поле C не содержит подполей, то есть является минимальным полем, включающим R как подполе и содержащим i?

задан 23 Сен '19 15:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

Всё зависит от того, какой смысл вкладывается в используемый оборот "поле комплексных чисел". Я бы здесь поступил так. Сначала рассматривается множество RxR. На нём задаются операции сложения и умножения пар. Проверяется, что они удовлетворяют аксиомам поля. При этом пары вида (a,0) образуют подполе, изоморфное R. Выбрасываем их, заменяя на числа, получая расширение поля R. Называем его полем комплексных чисел и обозначаем через C. Мнимой единицей называем пару (0,1). Проверяем, что i^2=(-1,0)=-1, и что (a,b)=a+bi.

Теперь уместно поставить вопрос, а нет ли других расширений поля R с похожими свойствами. Можно было бы задать заранее список таких свойств, и любое поле, обладающее ими, назвать "полем комплексных чисел", а потом доказать, что все они между собой изоморфны. Правда, при таком аксиоматическом подходе придётся доказывать существование хотя бы одного такого поля, что возвращает нас к предыдущей конструкции.

Тем не менее, идея единственности остаётся, и соответствующая теорема будет тем ценнее, чем меньше набор рассматриваемых свойств. Ясно, что речь о собственных расширениях поля R. Мнимой единицей можно назвать любое решение уравнения x^2+1=0. Одного требования существования мнимой единицы будет мало. Дело в том, что само поле C легко расширить, например, до поля C(x) рациональных функций от переменной x. Поэтому условие не должно разрешать такие "огромные" расширения.

Легко понять, что стандартное поле C обладает базисом {1,i} над R и потому двумерно. Поле же C(x) бесконечномерно, так как элементы 1,x,x^2, ... линейно независимы. Поэтому потребуем только одного условия: поле K > R конечномерно над R. Отсюда будет следовать, что оно изоморфно C. Это стандартный факт вузовского курса алгебры (начало доказательства теоремы Фробениуса).

То, что C не содержит подполей, заведомо неверно. Верно лишь то, что подполя в C, содержащие R, это сами R и C, а других нет. Но это утверждение очевидно.

ссылка

отвечен 23 Сен '19 15:52

Еще не очень понимаю, какой базис имеет C(x).

(23 Сен '19 18:43) bumblebee

@Герман Якимов: там важно, что он бесконечен -- в силу линейной независимости степеней. Целиком его строить не нужно. Там получается что-то сложное: надо раскладывать на простейшие дроби, то есть это сложно. Здесь сам аргумент играл ту роль, что "больших" полей очень много, и их в этом контексте не рассматривают, а анализируют только конечномерный случай.

(23 Сен '19 19:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×465
×403
×53

задан
23 Сен '19 15:14

показан
125 раз

обновлен
23 Сен '19 19:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru