alt text А (1) это собственно определение ess sup:
alt text

задан 24 Сен '19 1:05

изменен 24 Сен '19 12:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть inf равен a. Для любого натурального n рассмотрим множество M(n) тех x, для которых f(x)>=a+1/n. По построению, оно имеет меру 0. Действительно, согласно определению inf, найдётся множество полной меры, на котором sup модуля меньше a+1/(2n), и тогда мера множества тех x, для которых это не так, нулевая.

Рассмотрим объединение всех M(n) по n>=1. Его мера равна нулю. Пусть E -- дополнение этого объединения. У нас берётся inf по каким-то множествам, включая E. Значит, он не больше sup|f(x)| по E. Мы хотим доказать равенство, и тогда на E достигается значение inf. Если a строго меньше sup|f(x)| по E, то найдётся n, для которого sup не меньше a+1/n. Тогда найдётся точка x из E, для которой |f(x)|>=a+1/(2n) в силу определения sup. Но это противоречие, так как точки из E не принадлежат M(2n).

ссылка

отвечен 24 Сен '19 15:18

@falcao, спасибо

(25 Сен '19 2:14) Konon
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я рассуждал так. Во-первых, перепишем определение: $%A=\inf\{a\geq0:\mu(x\in X:|f(x)|>a)=0\}$%. Надо доказать, что $%A$% -- наименьшее из чисел $%a\geq0$% таких, что $%|f(x)|\leq a$% почти всюду на $%X$% (т.е. что это почти всюду мажоранта, т.е. она принадлежит тому множеству).

По определению инфимума найдётся последовательность $%a_n\in \{a\geq0:\mu(x\in X:|f(x)|>a)=0\}$% такая, что $%a_n\to A$%. По определению почти всюду мажоранты для каждого $%n$% существует множество $%M_n$% меры нуль, такое, что вне его $%|f(x)|\leq a_n$%. Далее, если $%M=\cup M_n$%, то $%\mu(M)=0$% и при всех $%x\not\in M$% $%|f(x)|\leq a_n$% для всех $%n$%. При всех таких $%x$% переходим к пределу при $%n\to\infty$% и получаем, что $%|f(x)|\leq A$% почти всюду на $%X$%, т.е. $%A$% -- почти всюду мажоранта.

ссылка

отвечен 24 Сен '19 16:20

изменен 24 Сен '19 17:41

@caterpillar, спасибо

(25 Сен '19 2:27) Konon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×823

задан
24 Сен '19 1:05

показан
228 раз

обновлен
25 Сен '19 2:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru