$%\| x\| $%=0 тогда и только тогда, когда x = 0, здесь у нас полунорма. Это же правдивое утверждение? Помогите пожалуйста, доказать, если это правда, я что-то туплю.

задан 25 Сен '19 18:20

1

Это не правда. Полунорма (или преднорма) удовлетворяет только двум условиям: однородность и неравенство треугольника. Если уберёте слова "тогда и только тогда", то в одну сторону будет верно: ||0||=0

(25 Сен '19 18:25) caterpillar

@caterpillar: эх ну ладно, собственно мне это нужно было, чтобы доказать, что норма на факторпространстве корректно определена. Буду думать еще тогда

(25 Сен '19 18:37) Klin
1

@Klin: лучше было дать изначальную постановку задачи -- что дано, что требуется проверить. Если речь о факторпространстве, то там всё должно легко следовать из определений.

Полунорма тем отличается от нормы, что первое условие не обязательно выполнено. То есть у ненулевого вектора может быть нулевое значение полунормы. Такие векторы образуют подпространство, по нему и факторизуем, как я понимаю. Тогда нужное свойство появится.

(25 Сен '19 18:44) falcao

@falcao, есть X - полунормированное пространство и N - векторное пространство векторов с нулевой нормой, нужно показать, что на X/N правило $%\| x + N \| ^{\sim}$%= $%\| x \| $% определяет норму.

(25 Сен '19 18:49) Klin

@Klin, см., например, здесь

(25 Сен '19 18:52) caterpillar

@caterpillar, по-моему в этом тексте это утверждение в качестве упражнения

(25 Сен '19 18:57) Klin

@Klin: тут все проверки автоматические. Для начала, если x и x' отличаются на вектор из n, то ||x||<=||x'||+0 и наоборот, откуда ||x||=||x'||, то есть правило корректно. Если ||x+N||=0, то x из N, откуда x+N=N -- нулевой вектор. Однородность и неравенство треугольника прямо следуют из формулы и свойств полунормы.

(25 Сен '19 19:04) falcao

@falcao, поняла, а можно дурацкий вопрос? По сути, x+N - это просто обозначение классa, представителем которого является x?

(25 Сен '19 19:21) Klin

@Klin: Вам надо повторить определение факторгруппы из курса алгебры. Напомню, что если дана группа G (будем рассматривать абелев случай), и в ней подгруппа N, то на G задаётся отношение ~ по правилу x~y iff x-y \in N. Проверяется, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности -- это множества вида x+N, где x пробегает G. Множество классов обозначаем G/N. На этом множестве определена операция + формулой (x+N)+(y+N)=(x+y)+N. Легко проверяется, что получается группа. Представителем класса x+N будет не N (оно для всех одно), а x. Также помним, что x+N=y+N iff x~y.

(25 Сен '19 19:31) falcao

@falcao, спасибо!

(26 Сен '19 0:25) Klin
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,950

задан
25 Сен '19 18:20

показан
151 раз

обновлен
26 Сен '19 0:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru