Откуда вообще взялось: $$1+2+3+...... =- \frac{1}{12}?$$ Это верно ?

задан 26 Сен '19 16:06

Это Вам надо почитать про функциональное уравнение дзета-функции или метод суммирования Рамануджана. Верно это или нет, это смотря что считать верным. Если обобщённое суммирование даёт правильный результат на сходящихся рядах, то, видимо, надо считать это верным. Есть ли у этого практические применения? В подавляющем большинстве случаев -- нет, но я слыхал, что такая сумма возникает и применяется в теоретической физике и теории струн. Можно поискать по этому вопросу популярные статьи.

Также, если интересует суммирование расходящихся рядов, то можете посмотреть одноимённую книгу Харди.

(26 Сен '19 16:45) caterpillar

@caterpillar Спасибо.

(26 Сен '19 20:09) jao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Этот вопрос частенько задают. Я на него не раз уже отвечал. Поначалу хотел просто процитировать то, что говорил раньше. Но в процессе решил ответить более развёрнуто, чтобы потом при случае было на что сослаться.

Если иметь в виду классический смысл, то ряд в левой части является расходящимся, и его сумма ничему не равна. В крайнем случае, её можно считать равной бесконечности. Однако данное тождество в математике встречается, и это означает, что сумма ряда здесь понимается в каком-то совсем другом смысле. То есть не в смысле курса матанализа.

Рассмотрим такой простой пример. Известна формула суммирования бесконечной геометрической прогрессии: $%1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$%, верная при $%|x| < 1$%. Если "механически" подставить $%x=2$%, то получается равенство $%1+2+2^2+\cdots=-1$%, которому можно придать совершенно разумный смысл (сходимость в $%2$%-адической норме).

Делается это следующим образом. Если рассмотреть конечную сумму вида $%1+2+2^2+\cdots+2^n$%, то в двоичной записи получится число $%11\ldots1$% из $%n+1$% единиц. При стремлении $%n$% к бесконечности возникает новый объект (не являющийся обычным действительным числом!), который можно записать как $%\ldots11\ldots1$% с единицами, бесконечно уходящими влево.

Можно ввести такие новые объекты -- бесконечные последовательности нулей и единиц вида $%\ldots a_n\ldots a_1a_0$%, определив действия сложения и умножения над ними обычным образом, то есть "столбиком" -- по тем же правилам, как мы складываем и умножаем обычные целые неотрицательные числа в двоичной системе. Мы при этом получим новую систему так называемых $%2$%-адических чисел. Она содержит подсистему чисел вида $%...0...0a_n\ldots a_1a_0$%, которые ведут себя как обычные натуральные (с нулём). То есть мы расширили понятие числа подобно тому как от рациональных чисел переходят к действительным, или от действительных к комплексным. При этом свойства числовой системы меняются. Если раньше какое-то уравнение не имело решений (типа $%x^2=2$% или $%x^2=-1$%, то в новой системе решения могут появиться.

Легко понять, что в системе $%2$%- адических чисел сумма $%\ldots11\ldots1$% и $%\ldots00\ldots01$% (единицы) равна $%\ldots00\ldots00$%, то есть нулю, и тем самым оказывается, что число из одних единиц противоположно единице, то есть может быть записано как $%-1$%. Этот же самый вывод получается при "незаконной" подстановке числа $%x=2$% в формулу из матанализа. Это явление интересно само по себе: какой-то "неправильный" приём (типа перестановки членов расходящихся рядов) приводит к равенству, которое далее бывает возможно трактовать в неком особом смысле. Но надо иметь в виду, что не все такого рода приёмы к чему-то ведут, а также (самое главное!) надо иметь в виду, что пока этот новый смысл не обрисован, говорить об "экзотических" равенствах преждевременно.

Теперь по поводу "суммы натурального ряда": есть очень важная для математики дзета-функция $%\zeta(s)$%, которая при $%s > 1$% определяется как сумма ряда $%1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\cdots+\frac1{n^s}+\ldots$%. Этот ряд сходится при указанном условии на $%s$% (а также для всех комплексных $%s$%, у которых действительная часть больше единицы). Но уже при $%s=1$% получается гармонический ряд, который расходится. Однако дзета-функция имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость. Это делается довольно естественным, и можно даже сказать, единственным образом. Для нахождения значений дзета-функции при других $%s$% есть отдельные формулы. По ним можно найти значения $%\zeta(-1)$%, и оно оказывается равно $%-\frac1{12}$%.

Если взять и чисто формально подставить $%s=-1$% в ту формулу, которая была указана выше (чего делать заведомо нельзя!), то получится выражение $%1+2+3+\cdots+n+\cdots$%, и в этом смысле иногда говорят, что оно "равно" $%-\frac1{12}$%. Хотя равно не оно (будучи полученным "незаконно"), а значение продолженной функции. Которое при $%s > 1$% совпадает с суммой ряда, зависящего от $%s$%.

ссылка

отвечен 26 Сен '19 19:28

@falcao Спасибо за подробный ответ.

(26 Сен '19 20:09) jao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×139

задан
26 Сен '19 16:06

показан
432 раза

обновлен
26 Сен '19 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru