При решении задачи по теории вероятностей, получился ряд (n * C(n-1, k-1) * q^(n-k) * p^k) от n=k до бесконечности. (p+q=1).

Как можно найти сумму этого ряда?

Вольфрам находит её так: k/p, но всё же интересно, как её посчитать вручную.

Попытался что-то упростить и получилось:

((p/q)^k/(k-1)!) * (сумму ряда (n!/(n-k)! * q^n) от n=k до бесконечности).

Но как быть дальше - не знаю. Подскажите, пожалуйста.

задан 28 Сен '19 21:46

изменен 28 Сен '19 22:06

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%nC_{n-1}^{k-1}=\frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}=kC_n^k$%

Получается сумма $%\sum\limits_{n=k}^{\infty}nC_{n-1}^{k-1}p^kq^{n-k}=k\sum\limits_{n=k}^{\infty}C_n^kp^kq^{n-k}=kp^k\sum\limits_{n=k}^{\infty}C_n^{n-k}q^{n-k}=kp^k\sum\limits_{m=0}^{\infty}C_{k+m}^mq^m$%

Сумма степенного ряда $%\sum\limits_{m=0}^{\infty}C_{k+m}^mx^m$% при $%|x| < 1$% равна $%\frac1{(1-x)^{k+1}}$%. Это можно доказать или при помощи разложения в ряд Тейлора функции $%(1-x)^a$% при $%a=-(k+1)$%, или по индукции с использованием свойств треугольника Паскаля.

В итоге получится $%\frac{kp^k}{(1-q)^{k+1}}=\frac{k}p$%. Но я подозреваю, что в исходной задаче по теории вероятностей надо было найти какое-то математическое ожидание. Последнее чаще всего можно сделать проще, не опираясь на определение и не используя рядов, а применяя лишь свойство аддитивности. Особенно с учётом простой формы ответа. Типа того, сколько надо в среднем произвести испытаний с вероятностью успеха $%p$%, до достижения $%k$% успехов. Тогда ответ $%\frac{k}p$% получается практически сразу.

ссылка

отвечен 29 Сен '19 1:59

1

Спасибо огромное! Совершенно верно, я находил матожидание количества испытаний до k-го количества успехов. Разумеется, можно было применить свойство аддитивности матожидания: матожидание суммы случ. величин равно сумме матожиданий случ. величин. И ответ тоже получается k/p. Но я ещё второй способ захотел рассмотреть.

(29 Сен '19 7:43) Tiny Toon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×835

задан
28 Сен '19 21:46

показан
228 раз

обновлен
29 Сен '19 7:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru