Доказать, что полином $%x^2+tx+t^2+1$% (t=const) неприводим в расширении $%x^3+2x+1$% поля $%\mathbb F_{3}$%. Либо разложить его на множители. t - корень полинома $%x^3+2x+1$%.

задан 29 Сен '19 5:21

изменен 29 Сен '19 16:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Многочлены 2-й и 3-й степени неприводимы над полем тогда и только тогда, когда они не имеют в нём корней. Легко видеть, что $%x^3+2x+1$% не имеет корней в поле $%\mathbb F_3$%. Поэтому он над этим полем неприводим, и расширение с его помощью будет полем из 27 элементов. Допустим, что полином $%x^2+tx+t^2+1$% имеет корень в расширении, который через $%x$% и обозначим. Тогда $%(x-t)^2=-1$%, и элемент $%x-t$% имеет порядок 4 в мультипликативной группе этого поля. Однако она имеет порядок 26, то есть не делится на 4. Тем самым, рассматриваемый многочлен над расширением неприводим.

ссылка

отвечен 29 Сен '19 5:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,448
×967
×828
×425

задан
29 Сен '19 5:21

показан
146 раз

обновлен
29 Сен '19 16:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru