Здравствуйте!

Нужно вычислить интегралы |z-1||dz| и |z-1|dz по положительно ориентированной единичной окружности.

Используя стандартную параметризацию окружности, для первого я получаю нечто типа ((a-1)^2+1+2(a-1)cost), но под корнем (здесь a -это центр), так как я получал модуль комплексного числа.
Возникает вопрос, как этот интеграл брать?

задан 29 Сен '19 16:56

изменен 29 Сен '19 17:10

Конкретно, какая окружность?

(29 Сен '19 17:01) caterpillar

@caterpillar: наверняка единичная, с центром в нуле -- а то бы это оговорили.

@Ghosttown: сделайте замену z=e^{iф}, где ф от 0 до 2п. Далее -- обычная подстановка и параметризация.

(29 Сен '19 17:03) falcao

@falcao, там про какой-то центр a сказано. Но непонятно, действительное это число или комплексное.

(29 Сен '19 17:04) caterpillar

@caterpillar, пардоньте, просто единичная положительно ориентированная окружность. Про центр ничего не известно, сам ввёл число a. @falcao, спасибо, но я и так здесь заменял z, как z(t) = a + e^(it).
Модуль числа (a-1)+e^(it) получается как выше, в вопросе. Ну и собственно вопрос остаётся тот же

(29 Сен '19 17:10) Ghosttown

Нет тут никакого a, если центр в нуле, не вводите людей в заблуждение.

(29 Сен '19 17:23) caterpillar

@Ghosttown: поскольку z=e^{it}, имеем dz=ie^{it}dt. Модуль dz равен 1. Далее, |z-1|=sqrt(2-2cos(t))=2|sin(t/2)|. Используем симметрию, беря интеграл по t от 0 до п и удваивая. Модуль исчезает, синус легко интегрируется. Во втором случае суть посложнее, но так или иначе аналогично. Там функция домножится на -sin(t)+icos(t), нужно найти сумму двух интегралов. Разбиваем отрезок на два, избавляемся от модуля. Произведения синусов/косинусов превращаем в суммы/разности и интегрируем.

(29 Сен '19 17:25) falcao

@caterpillar, я не писал, что центр в нуле, этого нет по условию, поэтому и учитываю a. @falcao, спасибо. Но всё-таки Вы тоде не учитывали неопределённый центр окружности (повторюсь, она просто единичная)

(29 Сен '19 18:12) Ghosttown

@Ghosttown, имеет смысл привести постановку задачи, как она есть. А также посмотреть, что находится в ближайшей окрестности этой задачи, теория, примеры и т.д. Если центр действительно произволен, то это надо считать, что a=a1+i*a2, а это может привести к какому-нибудь эллиптическому интегралу. И взять его не получится.

(29 Сен '19 18:17) caterpillar

@caterpillar, про a=a1+i*a2 действительно, не подумал.
А постановка такая и есть, как в шапке.
Ну, учитывая Ваши слова про эллипт интеграл, видимо, подразумевался центр в нуле. Спасибо большое!

(29 Сен '19 19:42) Ghosttown
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,410
×508

задан
29 Сен '19 16:56

показан
299 раз

обновлен
29 Сен '19 19:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru