Построить расширение степени 3 поля $%\mathbb F_3$% и решить в нем уравнение $%x^3+x=2t^2+1$%, где $%t$% - корень полинома $%x^3+2x+1$%.

задан 29 Сен '19 17:13

изменен 29 Сен '19 17:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как говорилось выше, расширение имеет порядок 27 ввиду неприводимости x^3+2x+1 над F3.

Все элементы расширения однозначно представляются полиномами степени <=2 над F3. Ищем корни в виде x=a+bt+ct^2. Согласно "детской биномиальной теореме", x^3=a+bt^3+ct^6 (с учётом того, что a^3=a и т.п.). Далее, t^3=-2t-1=t-1, t^6=t^2+t+1. Отсюда x^3=a+b(t-1)+c(t^2+t+1)=a-b+c+(b+c)t+ct^2; x^3+x=-a-b+c+(c-b)t-ct^2 (с учётом 2=-1).

Приравнивая 1+2t^2, имеем систему из трёх уравнений. Она решается устно: a=-1, b=c=1. Это значит, что корень тут один: x=t^2+t-1.

ссылка

отвечен 29 Сен '19 17:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,326
×914
×407

задан
29 Сен '19 17:13

показан
101 раз

обновлен
29 Сен '19 17:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru