функциональное_уравнение - Можно ли решить такое функциональное уравнение ?

f(1)=2

f(2)=f(1)+2=4

f(3)=2f(2)+2=10

f(4)=3f(3)+2=32

и так далее. Выразим f(n) при n>=1. Легко видеть, что последовательность напоминает факториалы. Тогда в уравнении f(n)=(n-1)f(n-1)+2 можно выполнить деление на (n-1)!, и получится g(n)=g(n-1)+2/(n-1)!, где g(n)=f(n)/(n-1)!. Получается g(n)=2(1/1!+1/2!+...+1/n!), где величина в скобках стремится к e.

При n>=1 можно записать f(n)=2(n-1)!(1/0!+1/1!+1/2!+...+1/(n-1)!); это явная формула. Её в принципе достаточно, но можно заметить, что при n>=2 получится (n-1)!e=(n-1)!(1/0!+1/1!+1/2!+...+1/(n-1)!)+1/n+1/(n(n+1))+1/(n(n+1)(n+2))+... , где сумма ряда меньше 1/n+1/n^2+1/n^3+...=1/(n-1)<=1. Поэтому (n-1)!e представлена здесь в виде суммы целой и дробной части, и при n>=2 имеет место равенство f(n)=2[(n-1)!e] с использованием целой части.

Теперь найдём значения f(x) при x<=0. Значение f(0) может быть любым, то есть функциональное уравнение будет иметь бесконечное семейство решений. Положим a(n)=f(-n) при n>=0. Тогда a(n)+(n+1)a(n+1)=2. Отсюда имеем b(n)+b(n+1)=2n!, где b(n)=n!a(n). Задавая a(0)=b(0) любым, далее однозначно имеем b(1)=2-b(0), b(2)=2-b(1)=b(0), b(3)=4-b(2)=4-b(0), b(4)=12-b(3)=8+b(0), ... и так далее.

По индукции при n>=1 имеем формулу b(n)=2((n-1)!-(n-2)!+(n-3)!-...)+(-1)^{n}b(0). Можно также записать b(n)=(-1)^n(b(0)-2(0!-1!+2!-...+(-1)^{n-1}(n-1)!)). Деля на n!, имеем формулу для a(n)=f(-n).