Можно ли выразить $%f(x)$% через $%x$% ? $%f:Z \rightarrow Z$% $$f(x) = (x-1)f(x-1) + 2$$

Как ?

задан 1 Окт '19 14:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

f(1)=2

f(2)=f(1)+2=4

f(3)=2f(2)+2=10

f(4)=3f(3)+2=32

и так далее. Выразим f(n) при n>=1. Легко видеть, что последовательность напоминает факториалы. Тогда в уравнении f(n)=(n-1)f(n-1)+2 можно выполнить деление на (n-1)!, и получится g(n)=g(n-1)+2/(n-1)!, где g(n)=f(n)/(n-1)!. Получается g(n)=2(1/1!+1/2!+...+1/n!), где величина в скобках стремится к e.

При n>=1 можно записать f(n)=2(n-1)!(1/0!+1/1!+1/2!+...+1/(n-1)!); это явная формула. Её в принципе достаточно, но можно заметить, что при n>=2 получится (n-1)!e=(n-1)!(1/0!+1/1!+1/2!+...+1/(n-1)!)+1/n+1/(n(n+1))+1/(n(n+1)(n+2))+... , где сумма ряда меньше 1/n+1/n^2+1/n^3+...=1/(n-1)<=1. Поэтому (n-1)!e представлена здесь в виде суммы целой и дробной части, и при n>=2 имеет место равенство f(n)=2[(n-1)!e] с использованием целой части.

Теперь найдём значения f(x) при x<=0. Значение f(0) может быть любым, то есть функциональное уравнение будет иметь бесконечное семейство решений. Положим a(n)=f(-n) при n>=0. Тогда a(n)+(n+1)a(n+1)=2. Отсюда имеем b(n)+b(n+1)=2n!, где b(n)=n!a(n). Задавая a(0)=b(0) любым, далее однозначно имеем b(1)=2-b(0), b(2)=2-b(1)=b(0), b(3)=4-b(2)=4-b(0), b(4)=12-b(3)=8+b(0), ... и так далее.

По индукции при n>=1 имеем формулу b(n)=2((n-1)!-(n-2)!+(n-3)!-...)+(-1)^{n}b(0). Можно также записать b(n)=(-1)^n(b(0)-2(0!-1!+2!-...+(-1)^{n-1}(n-1)!)). Деля на n!, имеем формулу для a(n)=f(-n).

ссылка

отвечен 1 Окт '19 18:12

@falcao Спасибо! У меня возник вопрос:

Как получили g(n)=2(1/1!+1/2!+...+1/n!) , и почему величина в скобках стремится к е ?

(1 Окт '19 18:19) jao

@jao: там в конце не 1/n!, а 1/(n-1)!, а в начале 1/0!. Это опечатка, а дальше про f(n) написано правильно. Формула g(n)=2(1/0!+1/1!+...+1/(n-1)!) следует по индукции из рекуррентного соотношения g(n)=g(n-1)+2/(n-1)!.

Формула Тейлора для разложения экспоненты в ряд имеет вид e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+... . При x=1 получается представление e в виде суммы ряда величин, обратных факториалам. Если эта информация не считается известной, то можно ограничиться формулой с одними факториалами.

(1 Окт '19 18:30) falcao

@falcao Понял,большое спасибо !

(1 Окт '19 18:46) jao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×104

задан
1 Окт '19 14:10

показан
422 раза

обновлен
1 Окт '19 18:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru