alt text

задан 2 Окт '19 14:19

Пока не получилось

(2 Окт '19 14:20) epimkin

Может замена $%\cos \alpha - \sin \alpha = a$% , $%\sin 2\alpha = 1-a^2$% поможет

(2 Окт '19 15:15) potter

Это я делал в первую очередь, пока не особенно помогло

(2 Окт '19 15:16) epimkin

да тут идея простая. взять производную по альфа приравнять к нулю найти x=3/2(cos a - sin a) и тому подобное.

(2 Окт '19 15:54) abc

@abc: я думаю, именно эта идея тут и работает -- остальное представляет собой техническое обоснование. Там только разность синуса и косинуса получается, а не наоборот.

В ответе у меня получились значения arcsin(1/10) и arscin(3/10).

(2 Окт '19 19:38) falcao

@falcao хотелось бы увидеть решение. Я брал производную по иксу, видно потом уже нужно брать производную по альфе

(2 Окт '19 19:44) epimkin

У меня получилось $% \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} $%.

(2 Окт '19 21:17) FEBUS

@FEBUS: да, у меня такой же ответ получился, только я записал неправильно. Насчёт второго (симметричного) решения надо проверять, подходит ли оно.

(2 Окт '19 21:53) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим выражение из условия через F(x,a). Фактически, нужно найти точки наименьшего значения F на области, ограниченной прямыми a=0, a=п/2, x=-sin(a), x=cos(a). Будем считать известным, что такой минимум где-то достигается. Это следует из того, что область замкнута и ограничена. В школе такой факт не доказывают, но в задачах применяют частенько. Это считается нормальным, так как суть этой задачи не в теории, а в вычислениях.

Точка наименьшего значения либо находится на границе, либо внутри области. Во втором случае, при фиксированном a получается наименьшее значение функции, зависящей от x, и в силу необходимого условия экстремума, производная по x должна быть равна нулю. (Здесь производная существует, поэтому такой вывод правомерен.) Поэтому частная производная по x равна 0 (школьники этого понятия не знают, но оно и не нужно). Аналогично для производной по a при фиксированном x.

Таким образом, F'_a=-2x^2(cos(a)+sin(a))(2x+3(cos(a)-sin(a))). Сумма косинуса и синуса положительна, поэтому проверяем случаи x=0, когда F=0, и случай x=(3/2)(sin(a)-cos(a)). Подставляя это значение, имеем F=(135/4)z^2-(81/4)z+27/16, где z=cos(a)sin(a). (Уже это вычисление, мягко говоря, не из самых приятных.)

Здесь z принадлежит [0,1/2], и на этом отрезке ищем наименьшее значение квадратного трёхчлена. Выносим общий множитель 27/4; остаётся 5z^2-3z+1/4. Минимум в точке z=3/10, она принадлежит отрезку. Наименьшее значение всей функции при этих условиях равно -27/20. Оно достигается при sin(2a)=3/5, откуда находим два значения параметра a (выразить их можно многими способами).

Осталось сравнить это значение с другими, и проверить, что оно в самом деле наименьшее. Это чисто техническая работа. Случаи a=0 на отрезке 0<=x<=1 и a=п/2 при -1<=x<=0 анализируются несложно. Случаи x=-sin(a) и x=cos(a) ведёт к функциям достаточно сложного вида, но наименьшие значения там анализируются. Я ограничился построением графиков и убедился в том, что они там явно больше -1, то есть наименьшего "глобального" значения не дают.

Но, честно говоря, задача выглядит чрезмерно трудоёмкой, и я не понимаю, зачем такое предлагают. Какого-то лёгкого пути тут, вероятно, нет (или я не заметил).

ссылка

отвечен 2 Окт '19 23:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×532

задан
2 Окт '19 14:19

показан
303 раза

обновлен
2 Окт '19 23:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru