Найдите все целые значения параметра $%a$% ,при каждом из которых уравнение $$\frac{y+1}{x} + \frac{x+1}{y} = a$$ имеет хотя-бы одно решение в натуральных $%(x,y)$%

задан 3 Окт '19 21:59

Задача поначалу показалась простой, я стал писать решение, но в конце возник трудный случай, где ответ вроде бы "очевиден", но доказать утверждение пока не получается. Так что отложу до завтра.

(4 Окт '19 2:20) falcao

У меня получилось а = 3 и а = 4.

(4 Окт '19 2:48) FEBUS
10|600 символов нужно символов осталось
1

Решил всё-таки, но другим способом. Вспомнил про не раз обсуждавшиеся "прыжки Виета".

Запишем уравнение в виде x(x+1)+y(y+1)=axy. Будем считать, что x>=y. Случаи x=y и x=y+1 легко анализируются и ведут к значениям a=3, a=4.

Пусть x > y+1. Тогда квадратное уравнение x^2+(1-ay)x+y^2+y=0 имеет "симметричный" корень x'=y(y+1)/x. По условию, x' < y, и тогда от пары (x,y) переходим к паре (y,x') с условием y > x', где наибольшее из чисел уменьшилось. За конечное число шагов приходим к одному из разобранных случаев, а значения a при этом не меняются.

Попутно имеем описание всех решений. Рассмотрим последовательности 1, 1, 2, 6, 21, 77, ... и 2, 2, 3, 6, 14, 35, ... , где за числами x<=y следует y(y+1)/x. Первой последовательности соответствует значение a=4, второй a=3. Решениями являются пары соседних членов.

ссылка

отвечен 4 Окт '19 3:08

@falcao Спасибо!

(4 Окт '19 14:18) potter
10|600 символов нужно символов осталось
-2

Я то же эту уравняшку решал..... Оказалось, что решения можно несколькими способами записать.... даже Канадские Ёжики понимают, что сведётся всё к некоторому эквивалентному уравнению Пелля....

Уравнение: $$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=a$$ Можно решить воспользовавшись уравнением Пелля: $%p^2-(a^2-4)s^2=1$%

Тогда решения имеют вид:

$$n=2(p-(a+2)s)s$$

$$m=-2(p+(a+2)s)s$$ И ещё решения:

$$n=\frac{2p(p+(a-2)s)}{a-2}$$

$$m=\frac{2p(p-(a-2)s)}{a-2}$$

Ещё можно формулу решения записать если коэффициент такой, что уравнение $%p^2-(a^2-4)s^2=4$%

имеет решения.... и воспользовавшись его решениями. Тогда формула имеет вид:

$$n=\frac{p-(a-2)s+2}{2(a-2)}$$

$$m=\frac{p+(a-2)s+2}{2(a-2)}$$

Тут вообще говоря стоит вопрос о решении некоторых общих и похожих друг к другу уравнений.... поэтому можно написать такое....

Решения уравнения: $$\frac{X^2+aX+Y^2+bY+c}{XY}=j$$

Если корень целый:

$$t=\sqrt{(b+a)^2+4c(j-2)}$$

Тогда воспользовавшись решениями уравнения Пелля: $%p^2-(j^2-4)s^2=1$%

Решения можно записать.

$$X=\frac{(b+a\pm{t})}{2(j-2)}p^2+(t\mp{(b-a)})ps-\frac{(b(3j-2)+a(6-j)\mp{(j+2)t})}{2}s^2$$

$$Y=\frac{(b+a\pm{t})}{2(j-2)}p^2+(-t\mp{(b-a)})ps-\frac{(b(6-j)+a(3j-2)\mp{(j+2)t})}{2}s^2$$

Надо ещё учесть, что числа $%p,s$% могут быть ещё и разных знаков.

И вот теперь становиться понятно почему вечно вылазиют эти проклятые тройки и четвёрки.... просто решения делятся на коэффициент минус два....

ссылка

отвечен 4 Окт '19 9:11

1

@individ Откуда взялись эти формулы ? Ничего не понятно.

(4 Окт '19 14:18) potter

@potter вопрос этот задай тому кто минусы рисует... судя по всему мне тут не долго быть и скоро забанят.... Чего не понятного то? Воспользоваться формулой не можешь? Вроде сложности никакой....

(4 Окт '19 14:29) Individ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×957
×531

задан
3 Окт '19 21:59

показан
572 раза

обновлен
4 Окт '19 14:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru