Предположим у нас есть множество A = {1,2,3} и декартово произведение этого множества само на себя A x A.

  1. Какое отношение в данном случае будет наименьшим (и почему)?
  2. Какое отношение со свойством рефлексивности будет наименьшим (и почему)?
  3. Какое отношение со свойством симметричности будет наименьшим (и почему)?
  4. Какое отношение будет наименьшим при группе свойств: симметричности и рефлексивности наименьшим (и почему)?

В интернете часто видишь вопросы со словосочетанием приведите наименьшее отношение, но какое отношение является наименьшим в таком случае не понятно. Ну и по случаю тогда уж напишите какое отношение не будет являться наименьшим.

задан 4 Окт 4:10

изменен 4 Окт 4:34

Наименьшим рефлексивным будет отношение равенства. Оно симметрично.

В пунктах 1 и 3 -- пустое: меньше уже некуда :)

(4 Окт 8:52) falcao

@falcao Я так понимаю про рефлексивность вы имеете ввиду когда количество элементов множества равно количеству элементов в бинарном отношении те {(1,1),(2,2),(3,3)}. А что касается 4 вопроса? Полагаю что все то же {(1,1),(2,2),(3,3)} так как тут присутствует симметричность (пустое множество) и рефлексивность {(1,1),(2,2),(3,3)}. Кстати будет ли такое отношение являться рефлексивным {(1,1),(2,2),(3,3),{3,1}} а такое {(1,1),(2,2),(3,3),(4,1)}

(4 Окт 9:45) Maxim Pro

@Maxim Pro: здесь всё очень просто. Надо исходить из точных определений. Отношение на A рефлексивно <=> ему принадлежат все пары вида (a,a), где a пробегает A. Поэтому в вопросе 4 нам необходимо взять 3 пары, а больше можно не брать, так как отношение равенства симметрично. Отношение с дополнительной парой будет, конечно, рефлексивно. Правда, в последнем случае брать (4,1) нельзя, так как 4 не принадлежит A. Но на множестве {1,2,3,4} последнее отношение не рефлексивно, так как нет пары (4,4).

(4 Окт 12:45) falcao

@falcao интересно. А если у нас есть декартово произведение A x B, где A = {1,2,3}, а B = {3,4,5}. Можно ли тут составить отношение со свойством рефлексивности или же нет? P.S Спасибо что отвечаете, а то по виду этот форум и живет таким как вы.

(4 Окт 13:48) Maxim Pro

@Maxim Pro: если A и B не равны, то вступает в силу понятие бинарного соответствия. Случай, когда A=B, означает, что мы рассматриваем бинарное отношение на A. Второе -- частный случай первого. Все свойства типа рефлексивности, симметричности, транзитивности правомерно применять только для отношений. При разных A, B они не имеют смысла.

(4 Окт 14:30) falcao

@falcao если я вас правильно понимаю если A и B не равны то у них нет свойств, которые относятся к бинарным отношениям. Так? А какие свойства есть у бинарных отношений с разным произведением множеств те A!=B? Просто в википедии как я понял, описаны как раз отношения когда A x A.

(4 Окт 15:07) Maxim Pro

@falcao Почему к примеру если A = {1,2,3}, а B = {3,4,5}, но при этом нам важно свойство симметричности, отношение R = {} или R = {3,3} разве не будет симметричным ведь для пустого множества нет (x,y) принадлежащее множеству A x B, а для {3,3} есть (x,y) принадлежащее множеству и A и B, тогда в чем проблема (насчет неуместности свойства рефлексивности понятно, там абсолютно для каждого элемента из двух множеств которые образуют декартово произведение должна быть эквивалентная пара)?

(4 Окт 16:45) Maxim Pro

@Maxim Pro: в расширении понятия симметричности на случай произвольных соответствий нет никакой необходимости. Те частные примеры, которые Вы привели, не входят в понятие симметричных отношений. Там ведь в общем случае пара (b,a) может не принадлежать не только R, но даже AxB.

Что касается бинарных соответствий, то там важно понятие обратного соответствия, а также произведения (композиции) соответствий.

(4 Окт 18:10) falcao

@falcao да может и не принадлежать, а если принадлежит и я привел пример, то разве такое отношение не является симметричным? Почему тогда при A x A наименьшее отношение это {} и куча других вариантов таких как {(1,1)} или {(1,1),(3,3)} или {(1,3),(3,1)} итп. А когда A!=B то значит нет отношения симметричности? Как так-то?

(4 Окт 18:23) Maxim Pro

@Maxim Pro: если Вы задаёте разные A и B, то получается соответствие, а не отношение. Поэтому его нельзя анализировать на предмет симметричности. Для соответствий такого понятия нет.

Другое дело, что {1,2,3} и {3,4,5} имеют общий элемент, поэтому множество пар {(3,3)} можно рассмотреть и как отношение, но на множестве {3}, или на любом множестве, которому принадлежит 3. Но не на паре разных множеств.

Пустое множество является наименьшим, так как оно является подмножеством любого множества. В этой задаче нет глубокого содержания.

(4 Окт 18:30) falcao

@falcao то есть если у нас есть множества A и B, когда мы делаем декартово произведение, то элементы которые принадлежат обоим множествам и образуют пары называют соответствием? Термин отношения применителен только для множеств, которые имеют декартово произведение само на себя n-раз? Делая логический вывод, что для AxB нет свойств отношений так как это разные множества при A!=B. Верно?

(4 Окт 18:46) Maxim Pro

@Maxim Pro: лучше всего было бы прочитать серию формальных определений.

Если A, B -- множества, то произвольное подмножество R декартова произведения AxB называется (бинарным) соответствием между A и B.

Вы пересказываете очень неточно (при этом понимаете, скорее всего, правильно). Например, говорите, что элементы принадлежат обоим множествам. Это неправда: множества могут вообще не пересекаться. Имеется в виду, что первый элемент принадлежит первому множеству, а второй -- второму. Это не то же, что "обоим". И всё это входит в конструкцию декартова произведения.

(4 Окт 19:13) falcao

Бинарным отношением на множестве A называют произвольное подмножество декартова квадрата, то есть множества A^2=AxA. Можно рассматривать и n-арные отношения как подмножества A^n. Но они реже требуются.

Если не задано отношение, то говорить о его свойствах нельзя. Примерно как нельзя говорить о катетах, если нет прямоугольного треугольника.

(4 Окт 19:17) falcao

@falcao да вы все правильно сказали, я сам думал насчет "обоим" (ошибся, хотя имел ввиду то что вы написали).

То есть я правильно в общих чертах все написал комментарием выше?

(5 Окт 0:47) Maxim Pro

@Maxim Pro: там очень небрежный пересказ, в котором огромное количество разных неточностей. Анализировать их подробно не хочется, так как речь о разного рода "мелочах". Призываю только говорить точнее, называя вещи своими именами. Например, там надо говорить о подмножествах декартова произведения, а не о самом AxB, и так далее.

Лимит на комментарии тут скоро иссякнет :)

(5 Окт 1:07) falcao

@falcao да я понимаю что есть неточности, не силен в терминологии. То есть отношение это частный случай соответствия? Получается такие свойства как :транзитивность, рефлексивность, соответствие и т.п(их довольно много) только для отношений и их нельзя применять для соответствий, которые не являются частным случаем - то есть отношениями?


Да механизм хэшкода сильно уступает SO, там хотя бы модераторы длинные переписки в чат отправляют для дальнейшего обсуждения, сайт выглядит в 2019 как в 2012 =) Но вы можете что-то сделать ответом и мы можем дальше продолжить обсуждение если потребуется :)

(9 Окт 9:02) Maxim Pro
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×226

задан
4 Окт 4:10

показан
81 раз

обновлен
9 Окт 9:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru