Пусть $%i(G)$% - пересечение собственных максимальных подгрупп $%G$%. Пусть $%G$% - конечная группа и $%f:G\to H$% - гомоморфизм, такой, что $%f(i(G))=H$%. Доказать, что $%H$% тривиальна.

задан 4 Окт '19 5:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Такая подгруппа называется подгруппой Фраттини, и её обычно обозначают через Ф(G). Хорошо известно, что Ф(G) состоит в точности из всех непорождающих элементов, то есть таких, которые можно исключить из любого множества порождающих группы. Типичным примером является единичный элемент. Чуть менее тривиальный пример -- элемент -1 группы кватернионов. Это утверждение просто доказывается в обе стороны, и оно есть во многих учебниках (у Каргаполова - Мерзлякова, или у М.Холла).

Рассмотрим произвольный элемент g из G. Тогда f(g) принадлежит H, а потому имеет вид f(a), где a взят из Ф(G). Элемент a^{-1}g принадлежит ядру N гомоморфизма f, откуда G=Ф(G)N. Получается, что G порождается объединением N U Ф(G). Ввиду конечности, все элементы из Ф(G) можно поочерёдно исключить из этого множества порождающих, и тогда окажется, что N порождает G, то есть ядро равно G, и гомоморфизм f единичный. Поэтому H=f(Ф(G))<=f(G)={1}, то есть H тривиальна.

На всякий случай напомню вспомогательный аргумент. Пусть X U {a} порождает G, где a из Ф(G). Допустим, что a нельзя удалить, то есть X порождает не всю группу G. Тогда подгруппа gp(X) собственная, и она содержится в максимальной подгруппе M. Ей же принадлежит a, то есть X U {a}<=M, откуда gp(X U {a})<=M < G -- противоречие.

ссылка

отвечен 5 Окт '19 1:03

А есть какой-нибудь простой контрпример, который показывает, что если группа бесконечна, то из порождающего множества нельзя исключить все элементы Ф(G)?

(9 Окт '19 21:14) Slater

@Slater: возьмём аддитивную группу Q. Максимальных подгрупп в ней нет. В этом случае Ф(Q)=Q по определению. Понятно, что всю Q исключить нельзя. Если же любая собственная подгруппа содержится в максимальной (например, для конечно порождённого случая), то предыдущее доказательство работает (если X порождает не всю G, то погружаем X в максимальную, и тогда X U Ф(G) тоже содержится в M, и группу G не порождает).

(9 Окт '19 22:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,011

задан
4 Окт '19 5:27

показан
175 раз

обновлен
9 Окт '19 22:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru