S3 ~= Aut(S3) ~= Inn(S3) ~= Aut(V4) ~= GL(2, 2)

задан 4 Окт '19 16:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

Центр группы S3 тривиален, так как тройной цикл (abc) не коммутирует с транспозицией (ab), что проверяется перемножением. Поэтому только единичный элемент этой группы принадлежит центру.

Для любой группы G имеет место изоморфизм группы внутренних автоморфизмов Inn(G) и факторгруппы G по центру. Действительно, каждому g из G сопоставляем сопряжение элементом g. Это отображение G->Inn(G). Легко проверить, что это гомоморфизм. Он сюръективен. Его ядро совпадает с центром. По теореме о гомоморфизмах получаем нужный вывод. То есть S3~=Inn(S3).

Для любого n>=3 кроме n=6 группа Aut(Sn) изоморфна самой Sn (теорема Гёльдера). В общем случае доказательство сравнительно сложное. Для частного случая n=3 всё проще. Достаточно проверить, что все автоморфизмы внутренние. Пусть f принадлежит Aut(S3). Известно, что S3 порождается транспозициями (12) и (13). При автоморфизме порядок элемента сохраняется, и транспозиции переходят в транспозиции. Образы различны, и имеют один общий символ. Можно обозначит их (ab) и (ac). Тогда при сопряжении подстановкой 1->a, 2->b, 3->c транспозиции (12) и (13) перейдут в (ab) и (ac) соответственно. Значит, на множестве образующих f совпадает с внутренним автоморфизмом. Тогда они совпадают и на всей группе.

Группа V4 может быть представлена как {e,a,b,c}, где aa=bb=cc=e, ab=ba=c, bc=cb=a, ca=ac=b. Имеет место полная симметрия. При любом автоморфизме e переходит в себя, а a, b, c как-то переставляются. В силу полной симметрии, любая подстановка на множестве {a,b,c} продолжается до автоморфизма. Поэтому Aut(V4) есть группа биекций 3-элементного множества на себя, а это и есть S3.

Наконец, эту же группу можно представить как Z2+Z2 в аддитивной записи, а это двумерное векторное пространство над полем из двух элементов. Автоморфизмы -- в точности невырожденные линейные преобразования, а они образуют полную линейную группу GL(2,2).

ссылка

отвечен 4 Окт '19 23:38

спасибо!(:

(5 Окт '19 0:49) Evvio
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,294
×53

задан
4 Окт '19 16:36

показан
92 раза

обновлен
5 Окт '19 0:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru