Необходимо найти сумму следующего ряда: x(n) = 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n, n стремится к бесконечности. Мне пока удалось получить грубые оценки сверху и снизу, 1/2 <= x(n) <= 1. Буду рад какой-нибудь подсказке, хотя бы в какую сторону рассуждать.

задан 4 Окт '19 19:11

@Герман Якимов: сумма бывает только у сходящегося ряда. Если ряд сходится, то его члены стремятся к нулю. Вы верно заметили, что x(n)>=1/2. Тогда сумма x(1)+x(2)+...+x(n)+... , очевидно, бесконечна.

С помощью оценок сумм можно сделать вывод о расходимости гармонического ряда по критерию Коши, и такая задача имеет смысл. Но ставить вопрос о нахождении суммы ряда, у которого общий член не стремится к нулю, не то чтобы нельзя, но это не задача содержательного характера, а тест типа того, а помним ли мы про необходимый признак сходимости?

(4 Окт '19 19:23) falcao

@falcao Согласен с некорректностью формулировки. Если рассмотреть последовательность такого вида (имеется ввиду последовательность x(n) = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/2n), то она будет убывающей и ограниченной снизу, значит, предел у нее есть, причем где-то в диапазоне от 1/2 до 1. Вот мне нужно как-то, в идеале, выразить его в замкнутом виде, либо получить какую-нибудь более точную оценку, каким-то образом его приблизить.

(4 Окт '19 19:30) Герман Якимов

@Герман Якимов: так Вам надо найти предел последовательности x(n)? Это совсем другая задача, она совершенно осмысленная. Никакой суммы ряда там нет, а предел там равен ln(2). Известно, что 1+1/2+...+1/n=ln n+c+o(1), где c -- константа Эйлера. Отсюда 1/(n+1)+...+1/(2n)=ln(2n)-ln(n)+o(1)=ln(2)+o(1).

Если факт про ln(n)+c не считается известным, можно применить неравенства (1+1/n)^n < e < (1+1/n)^{n+1} и прологарифмировать. Получится, что ln(n+1)-ln(n) расположено между 1/(n+1) и 1/n. Далее суммируем разности, и в середине всё сократится.

(4 Окт '19 19:51) falcao

Спасибо за помощь!

(4 Окт '19 20:10) Герман Якимов
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×728
×409
×19

задан
4 Окт '19 19:11

показан
102 раза

обновлен
4 Окт '19 20:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru