Что не так в моем рассуждении: $$n(tg(\pi/n)-\pi/n)^a=n(O(1/n^2))^a=O(1/n^{2a-1})$$ Сходится при a>1?

задан 4 Окт '19 19:41

изменен 4 Окт '19 19:41

Тангенс нечётная функция, поэтому раскладывается по нечётным степеням... Поэтому разность в скобках будет иметь третью степень в знаменателе...

(4 Окт '19 19:47) all_exist

tg x=x+x^3/3+o(x^3)

tg x-x ~ x^3/6

Использовать надо эквивалентность, чтобы получить необходимое и достаточное условие сходимости.

(4 Окт '19 19:54) falcao

Спасибо, а не подскажете, какая тут идея:(tg(pi/4+(1+1/n)^p -1) )^n ?

(4 Окт '19 20:24) Tyugo7

@Tyugo7: надо разложить (1+1/n)^p по формуле Тейлора, а для tg(п/4+t) применить формулу тангенса суммы: (1+ tg t)/(1-tg t). Тангенс t тоже надо будет разложить, но в целом это всё стандартно.

(4 Окт '19 20:27) falcao

@falcao, я это уже делал) Получается: ( (1+ tg t)/(1-tg t) )^n, где t=p/n+ O(1/n^2). Но такое разложение разве что-то дает?

(4 Окт '19 21:02) Tyugo7

@Tyugo7: пусть tg t=z. Тогда (1+z)/(1-z) стремится к 1. Выделяем слагаемое 1, остаётся 2z/(1-z)=2z(1+z+...)=2z+O(z^2). Если этого будет мало, то выделяем ещё один член. Для tg t разложение мы знаем, а (1+w)^n логарифмируем, раскладываем, и берём экспоненту.

(4 Окт '19 21:55) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,951

задан
4 Окт '19 19:41

показан
184 раза

обновлен
4 Окт '19 21:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru