Есть T - ограниченный линейный оператор из нормированного пространства в нормированное. Изометрия, это когда норма T(x) равна норме x. Почему из изометрии следует топологическая инъективность, т.е. гомеоморфизм первого пространства на свой образ? Т.е. я не совсем понимаю, зачем нужно условие изометрии, у нас же линейный оператор, он по идее всегда гомеоморфизм на свой образ, нет?

задан 4 Окт '19 19:45

@Хаапсалу: для гомеоморфизма нужна взаимная однозначность. Сохранения длин для инъективности достаточно (ненулевой вектор не перейдёт в нулевой). То, что получится сюръекция, не очевидно (но для конечномерного случая это верно).

Линейный оператор не всегда инъективен -- можно ведь спроецировать плоскость на прямую, или даже перевести всё в точку 0.

(4 Окт '19 20:18) falcao

@falcao, а как же непрерывность? Надо ведь показать еще что прямое и обратное отображения непрерывны.

(4 Окт '19 20:26) Хаапсалу

@Хаапсалу: если длины сохраняются, то ||f(x)-f(x_0)||=||x-x0||, и в определении можно взять delta=eps.

(4 Окт '19 20:29) falcao

@falcao, понятно. Спасибо

(4 Окт '19 20:30) Хаапсалу

@falcao, а почему при инъекции 0 только в 0 может перейти? Если даже будем рассматривать произвольное инъективное отображение. Это вроде не противоречит определению инъекции, если 0 не в 0 перейдет.

(4 Окт '19 20:52) Хаапсалу

@Хаапсалу, предположим, что $%z\in\ker A$%, $%z\ne0$%, тогда $%A(x+z)=A(x)$%, что противоречит инъективности.

@falcao, а почему то, что получится сюръекция, не очевидно. Сюръекция же на образ всегда есть, или Вы про что-то другое говорили?

(5 Окт '19 7:10) caterpillar

@Хаапсалу: у Вас было сказано, что оператор линеен. Значит, 0 переходит в 0.

@caterpillar: сюръекция на образ, конечно, всегда есть, но я имел в виду случаи, когда есть оператор из V в V, и в некоторых случаях можно доказать, что образ равен V. Типичный пример задачи: плоскость отображается в себя, и дано только сохранение расстояний.

(5 Окт '19 14:35) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×390

задан
4 Окт '19 19:45

показан
251 раз

обновлен
5 Окт '19 14:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru