Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

$$a^{2} + 8|x-5| +2\surd (x^{2}-10x+29)\ = 2a+ |x-2a-5|$$

Дошел до замены, но пугает перспектива рассматривания большого количества случаев.

задан 1 Июн '13 21:02

изменен 2 Июн '13 23:47

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, сделаем замену $%y=x-5$%, от которой количество решений не зависит. Получится $$a^2+8|y|+2\sqrt{y^2+4}=2a+|y-2a|.$$ Начнём с рассмотрения случая $%y\ge2a$%. Это даёт уравнение $%a^2+8|y|+2\sqrt{y^2+4}=y$%. Решений оно не имеет, поскольку левая часть больше либо равна $%8|y|+4$%, что строго больше $%|y|$%, а потому больше правой части, которая не превосходит $%|y|$%.

Таким образом, остался случай $%y < 2a$%, для которого уравнение приобретает вид $%a^2-4a+8|y|+2\sqrt{y^2+4}+y=0$%. Здесь также надо заметить, что $%8|y|+y\ge0$%, причём равенство имеет место только при $%y=0$%. Исходя из того, что $%\sqrt{y^2+4}\ge2$%, мы видим, что оставшиеся слагаемые в сумме дают не менее $%a^2-4a+4=(a-2)^2\ge0$%, и равенство возможно лишь при $%a=2$%.

Таким образом, при $%a=2$% имеется решение $%y=0$% (то есть $%x=5$%), а при всех остальных значениях $%a$% решений нет.

ссылка

отвечен 1 Июн '13 21:46

Про больше либо равно 8|y|+4 не заметил(. Большое спасибо!

(1 Июн '13 21:51) Bellator

@falcao: можете, пожалуйста, кратко описать, почему левая часть больше либо равна $%8|y|+4$%?

(21 Апр '14 23:16) ratchet

@ratchet: это следует из неравенств $%a^2\ge0$% и $%\sqrt{y^2+4}\ge2$%.

(21 Апр '14 23:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×392
×272

задан
1 Июн '13 21:02

показан
1316 раз

обновлен
21 Апр '14 23:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru