|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение. $$a^{2} + 8|x-5| +2\surd (x^{2}-10x+29)\ = 2a+ |x-2a-5|$$ Дошел до замены, но пугает перспектива рассматривания большого количества случаев. задан 1 Июн '13 21:02 
Bellator |
|
Прежде всего, сделаем замену $%y=x-5$%, от которой количество решений не зависит. Получится $$a^2+8|y|+2\sqrt{y^2+4}=2a+|y-2a|.$$ Начнём с рассмотрения случая $%y\ge2a$%. Это даёт уравнение $%a^2+8|y|+2\sqrt{y^2+4}=y$%. Решений оно не имеет, поскольку левая часть больше либо равна $%8|y|+4$%, что строго больше $%|y|$%, а потому больше правой части, которая не превосходит $%|y|$%. Таким образом, остался случай $%y < 2a$%, для которого уравнение приобретает вид $%a^2-4a+8|y|+2\sqrt{y^2+4}+y=0$%. Здесь также надо заметить, что $%8|y|+y\ge0$%, причём равенство имеет место только при $%y=0$%. Исходя из того, что $%\sqrt{y^2+4}\ge2$%, мы видим, что оставшиеся слагаемые в сумме дают не менее $%a^2-4a+4=(a-2)^2\ge0$%, и равенство возможно лишь при $%a=2$%. Таким образом, при $%a=2$% имеется решение $%y=0$% (то есть $%x=5$%), а при всех остальных значениях $%a$% решений нет. отвечен 1 Июн '13 21:46 
falcao Про больше либо равно 8|y|+4 не заметил(. Большое спасибо!
(1 Июн '13 21:51)
Bellator
@falcao: можете, пожалуйста, кратко описать, почему левая часть больше либо равна $%8|y|+4$%?
(21 Апр '14 23:16)
ratchet
|