Описать с точностью до изом все конечные полугруппы из 2х элементов

задан 5 Окт '19 0:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Всякая конечная полугруппа содержит идемпотент. Это известный факт, и он несложно доказывается. Но тут всего два элемента, поэтому можно то же самое получить проще. Пусть дана полугруппа на множестве {a,b}. Предположим, что идемпотентов нет, то есть aa=b, bb=a. Тогда a=bb=aaaa=a^4, откуда a^3=a^6=(a^3)^2, то есть a^3 -- идемпотент.

Далее без ограничения общности считаем, что aa=a. Идемпотентов либо два, либо один. Рассмотрим оба случая. Они не пересекаются, так как число идемпотентов -- инвариант при изоморфизме.

1) b не идемпотент, то есть bb=a. Отсюда ab=bbb=ba, то есть полугруппа коммутативна. Если ab=ba=b, то перед нами группа из двух элементов с нейтральным элементом a. Если же ab=ba=a, то перед нами полугруппа, где любые два элемента в произведении дают a, то есть ассоциативный закон имеет место (её называют полугруппой с нулевым умножением). Получилось два примера.

2) b также идемпотент, то есть bb=b. Предположим, что ab=ba, то есть полугруппа коммутативна. Элементы a, b пока равноправны, поэтому можно считать, что ab=ba=a. Это полугруппа, изоморфная {0,1} относительно умножения (a=0, b=1). Это третий пример.

Теперь пусть ab не равно ba. Возможны два варианта: ab=a, ba=b; ab=b, ba=a. Заметим, что на любом множестве S можно определить операцию x o y = x (результат равен первому операнду). Легко видеть, что она ассоциативна, то есть задаёт полугруппу. Её называют полугруппой левых нулей. Аналогично задаётся полугруппа правых нулей, то есть x o y = y. При изоморфизме левые нули переходят в левые нули, а правые в правые. Эти полугруппы не изоморфны. Итого имеем 5 примеров. Все они разные.

Для ясности можно взять множество {0,1}. Операция на нём -- это булева функция f(x,y). У нас получились такие 5 примеров: 1) f(x,y)=0 (нулевое умножение); 2) f(x,y)=x+y mod 2 (это группа); 3) f(x,y)=xy (конъюнкция); 4) f(x,y)=x (левые нули); 5) f(x,y)=y (правые нули). Заметим, что дизъюнкция двойственна конъюнкции и даёт изоморфную полугруппу (0 и 1 меняются ролями).

ссылка

отвечен 5 Окт '19 1:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,481
×66
×3

задан
5 Окт '19 0:48

показан
111 раз

обновлен
5 Окт '19 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru