1)$%a_n=\frac{sin(2n)*ln^u(n)}{n^v}$%

$$|\frac{sin(2n)*ln^u(n)}{n^v}|\leqslant\frac{ln^u(n)}{n^v}$$ при v>1 и для любого u ряд сходится абсолютно. При v=0 и u>=0, а также при v<0 и для любого u расходится. Как исследовать ряд на условную сходимость?

2)$$(-1)^{n+1} (sin(\frac{\pi n^a}{2n^a+1})-1 ), a>0$$ Как можно исследовать данный ряд на абсолютную и условную сходимости?

задан 5 Окт 13:56

изменен 5 Окт 13:56

2

В 1. Надо перебрать варианты, когда $%v>1$%, $%v<1$% и $%v=1$%. В последнем случае будет важно, чему равно и $%u$%. Причём надо установить, когда абс. сх-ти нет (это классический пример, когда |sin n|>=sin^2(n)). Условная сходимость устанавливается по признаку Дирихле.

Во 2. надо выделить часть pi/2 под синусом, упростить по формуле приведения, затем по формуле Тейлора выделить главную часть косинуса и сравнивать с гармоническим рядом.

(5 Окт 14:11) caterpillar

1)А с помощью какого признака можно установить, что при v>1 и любом u есть абсолютная сходимость? Также не очень очевидно, как ведет себя ряд, когда v лежит в промежутке [0,1)?

(9 Окт 0:01) Tyugo7

1)Чтобы установить, когда абсолютной сходимости нет, нужно рассмотреть выражение: $%|an|>=\frac{ln^u n}{2n^v}-\frac{ln^u(n)cos(2n)}{2n^v}$%(С учетом того, что |sin n|>=sin^2(n))? Оно не проще исходного.

(9 Окт 0:08) Tyugo7
1

@Tyugo7: по поводу v > 1 и любого u. Нужно принять во внимание, что ряд из 1/n^v сходится при любом v > 1. Логарифм же растёт медленнее степенной функции. Поэтому от домножения на (ln n)^u мы потеряем от величины v совсем чуть-чуть. Скажем, (v-1)/2, чтобы осталось (v+1)/2 > 1. Остаётся сослаться на то, что ln n растёт медленнее n^((v-1)/(2u)).

(9 Окт 1:43) falcao
1

@Tyugo7, а кто-то разве обещал "проще"? Теперь устанавливаете, что при нужных параметрах первая часть расходится (примерно так, как описал @falcao, только с учётом того, что из-за логарифма сходимость не появится), а вторая -- сходится по признаку Дирихле (тут производную привлеките). Тогда в целом получится расходимость.

(9 Окт 4:18) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,288

задан
5 Окт 13:56

показан
60 раз

обновлен
9 Окт 4:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru