Столкнулся с исследованием знакопеременного (не путать со знакочередующимся) ряда на условную и абсолютную сходимости. Если со второй всё более или менее ясно, то что делать с условной сходимостью, если ряд, составленный из абсолютных значений расходится?

Есть ли какие-то признаки / критерии / ..., которые позволят исследовать исходный ряд?

задан 5 Окт '19 16:49

изменен 5 Окт '19 16:51

Без конкретики ничего определённого не скажешь. Возможно, можно так расставить скобки, что ряд станет знакочередующимся и сходящимся. Тогда можно делать выводы и о сходимости исходного ряда, при условии, что его общий член стремится к нулю.

(5 Окт '19 16:51) caterpillar

@caterpillar я остановился на таком: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{(-1)^{[\sqrt k]}}{k})$$, где [x] - целая часть числа x.

(5 Окт '19 16:56) pokld

Ну да, здесь как раз эта идея, что слагаемые группируются так, чтобы дать знакочередующийся ряд с монотонным убыванием модуля общего члена. Тогда, поскольку общий член исходного ряда стремится к нулю, получится, что исходный ряд сходится.

(5 Окт '19 17:03) caterpillar

@caterpillar почему в этом случае мы можем утверждать, что сумма ряда не изменится?

(5 Окт '19 17:05) pokld

Потому что это общая простая теорема. Можно найти, например, у Фихтенгольца, во втором томе в разделе, посвящённом рядам.

(5 Окт '19 17:10) caterpillar

@caterpillar есть теорема, которая гласит, что путём перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперёд заданную сумму. Я про это.

Но, возможно, я что-то понимаю не так. Всё равно спасибо.

(5 Окт '19 17:14) pokld

Я не про это, не про перестановку членов, а про расстановку скобок. Без самой перестановки слагаемых. Выпишите члены ряда и возьмите в скобки члены одного знака. Получится знакочередование.

(5 Окт '19 17:18) caterpillar

@caterpillar спасибо!

(5 Окт '19 17:19) pokld

@FalcaoFan: если сгруппировать подряд идущие члены одного знака и доказать, что ряд сходится, то и ряд до группировки сходится. Это легко следует из того, что "недоучтённые" частичные суммы находятся между учтёнными, а последние имеют общий предел.

(5 Окт '19 17:23) falcao

@falcao да, это понятно. Я думал, что caterpillar говорит о перестановке слагаемых.

(5 Окт '19 17:32) pokld

@FalcaoFan, у Вас получается такой ряд:$$\sum(-1)^m\left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m^2+1}+...+\frac{1}{(m+1)^2-1}\right),$$ где в скобке $%2m+1$% слагаемых. Из этого всё и следует. Хорошая задача, на самом деле.

(5 Окт '19 17:41) caterpillar

@caterpillar: такая задача уже была, если мне память не изменяет. Там убывание надо было доказать.

(5 Окт '19 18:59) falcao

@falcao тут убывание доказывается достаточно просто через разность b_k и b_{k+1}, например. Но это уже мелочи.

(5 Окт '19 19:00) pokld

@FalcaoFan: да, я вроде тогда именно разность и оценивал.

(5 Окт '19 19:15) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,951
×835
×10

задан
5 Окт '19 16:49

показан
312 раз

обновлен
5 Окт '19 19:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru