Объясните, пожалуйста, по этому вопросу math.hashcode.ru/questions/18270/

Как от неравенства с модулем перейти к двойному неравенству. У меня что-то не получается как у Вас.

задан 1 Июн '13 22:21

изменен 7 Апр '14 11:57

Angry%20Bird's gravatar image


9125

А здесь условие по ходу дела изменилось. Двойное неравенство теперь получается другое, но тем же способом: сначала приводим выражение под модулем к общему знаменателю, а потом пишем, что оно находится между $%-2$% и $%2$%.

(1 Июн '13 22:27) falcao

Но тогда в двух неравенствах параметр будет и в числителе и в знаменателе и что-то совсем ничего не получается?

(1 Июн '13 22:34) СВЕТЛАНА
10|600 символов нужно символов осталось
1

В новой версии условия (то есть в той, которая сейчас) должно получиться двойное неравенство вида $$0\le\frac{x^2-a}{x+a}\le4.$$ У Вас так же получилось, или нет? По крайней мере, в этом виде всё можно представить. Здесь решать уже лучше по-другому, но преимущество в том, что дробь везде одна и та же.

Добавление. Здесь требуется выяснить, при каких значениях $%a$% двойное неравенство не имеет решений на интервале $%x\in(1;2)$%. Найдём такие $%a$% для которых всё наоборот, то есть решение относительно $%x$% на указанном интервале имеется, а в конце все эти значения параметра исключим из ответа.

Зафиксируем какое-то число $%x\in(1;2)$%, и будем решать неравенство относительно $%a$%, считая $%x$% параметром. Это удобно по той причине, что относительно $%a$% числитель и знаменатель линейны, а не квадратичны.

Одно из неравенств (первое) переписывается в виде $%(a-x^2)/(a+x)\le0$%. Ясно, что $%-x < x^2$%, и решение методом интервалов даёт $%a\in(-x,x^2]$%.

Второе неравенство перепишем как $%(a-x^2)/(a+x)+4\ge0$%, что равносильно $%(5a-x^2+4x)/(a+x)\ge0$%. Корнем числителя (относительно $%a$%) будет число $%(x^2-4x)/5$%. Его легко сравнить с $%-x$% и убедиться в том, что $%(x^2-4x)/5 > -x$% ввиду $%x^2 > -x$%. Следовательно, для второго неравенства метод интервалов приводит к $%a\in(-\infty,-x)\cup[(x^2-4x)/5,+\infty)$%.

Неравенство у нас двойное, и надо рассмотреть пересечение множеств из двух предыдущих абзацев. При этом потребуется сравнить $%x^2$% и $%(x^2-4x)/5$%. Ввиду положительности $%x$%, очевидно, что первое число больше. А это значит, что пересечение имеет вид $%a\in[(x^2-4x)/5,x^2]$%.

Напомним, что это значит: если зафиксировать какое-то $%x\in(1;2)$%, то именно для таких $%a$% будет справедливо двойное неравенство. И теперь нам надо объединить все полученные отрезки, то есть рассмотреть множество $$\bigcup\limits_{1 < x < 2}\left[\frac{x^2-4x}5,x^2\right].$$

Посмотрим, что происходит с концами отрезков, когда $%x$% пробегает интервал $%(1,2)$%. С правым концом всё ясно: он пробегает интервал $%(1;4)$%. Для левого конца получается следующее: выражение $%x^2-4x$% есть не что иное как $%(x-2)^2-4$% после выделения полного квадрата. Понятно, что $%x-2$% пробегает $%(-1;0)$%, то есть его квадрат принадлежит $%(0;1)$%. Вычитаем $%4$%, деля далее на $%5$%, откуда левый конец пробегает интервал $%(-4/5;-3/5)$%.

Теперь легко сделать вывод, что объединением семейства интервалов будет интервал $%(-4/5;4)$%. Концы объединяемых отрезков непрерывно зависят от $%x$%, то есть никаких пропусков в середине быть не может (более того, отрезки здесь расширяются с увеличением $%x$%). Таким образом, при $%a\in(-4/5;4)$% у двойного неравенства найдётся решение на интервале $%x\in(1;2)$%, так что ответом на поставленный в задаче вопрос будет дополнение этого множества, то есть $%a\in(-\infty;-4/5]\cup[4;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 1 Июн '13 22:37

изменен 2 Июн '13 4:27

Я получила такое неравенство. А как дальше?

(1 Июн '13 22:45) СВЕТЛАНА

Если перейти к системе, то будут два неравенства с параметром и в числителе и в знаменателе.

(1 Июн '13 22:47) СВЕТЛАНА

@СВЕТЛАНА: давайте-ка я сейчас решение изложу. Там есть один полезный приём, который заслуживает внимания.

(2 Июн '13 4:00) falcao

Спасибо большое!

(2 Июн '13 7:15) СВЕТЛАНА

@falcao Для левого конца получается следующее: выражение x2−4x есть не что иное как (x−2)2−4 после выделения полного квадрата. Понятно, что x−2 пробегает (−1;0), то есть его квадрат принадлежит (0;1). Вычитаем 4, деля далее на 5, откуда левый конец пробегает интервал (−4/5;−3/5).как это вы делали??

(2 Июн '13 13:32) кто

@кто: я здесь применяю стандартные приёмы, которые позволяют быстрее всего добраться до ответа. Выделение полного квадрата есть основополагающая вещь, лежащая в основе всей теории квадратных уравнений. Фактически, я нахожу множество значений функции $%y=x^2-4x$% на интервале $%(1;2)$%. Можно и по-другому: нарисуйте параболу, а потом посмотрите её значения на промежутке. Вам мои умозаключения понятны? Или вопрос связан только с непривычностью? Здесь ведь всё очень просто: например, если $%x$% меняется от 1 до 2, то $%3x+1$% меняется от 4 до 7, а его квадрат -- от 16 до 49 (для примера).

(2 Июн '13 14:04) falcao

спасибо. разобралась

(2 Июн '13 17:06) кто
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×281

задан
1 Июн '13 22:21

показан
1081 раз

обновлен
2 Июн '13 17:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru