$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k!+1)!}{((k+1)!)!} $$

задан 5 Окт '19 19:35

возвращен 6 Окт '19 3:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь числитель и знаменатель -- факториалы, но расстояние между соседними факториалами (k+1)! и k! неограниченно растёт. Здесь достаточно заметить, что при k>=2 имеет место неравенство (k+1)! > k!+1. Поэтому после сокращения числителя и знаменателя, в числителе всё сократится, а в знаменателе от факториала числа (k+1)! останется последний член, то есть (k+1)!. Отсюда следует, что k-й член ряда при k>=2 не превосходит 1/(k+1)!. Ряд из таких величин, очевидно, сходится, и тогда по признаку сравнения, исходный ряд также сходится.

ссылка

отвечен 5 Окт '19 20:32

@falcao, а разве не надо было доказывать, что k!+1<=(k+1)!-1, чтобы сократилось так, как Вы говорите.

(6 Окт '19 12:10) caterpillar
1

@caterpillar: так ведь эти неравенства равносильны. У меня a > b, у Вас b<=a-1.

(6 Окт '19 12:49) falcao

@falcao, почему равносильны? У Вас k!<(k+1)!-1, а у меня k!<=(k+1)!-2. Дошло, дело в строгости знака)) Я почему-то позабыл, что мы тут на натуральных числах работаем.

(6 Окт '19 13:01) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×835

задан
5 Окт '19 19:35

показан
305 раз

обновлен
6 Окт '19 13:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru