-1

Дано действительное число a > 0. Сколько положительных действительных корней имеет уравнение$$a^x=x^a$$?

задан 7 Окт 15:25

Не более двух.

А уравнение $%\;\log_{a}{x}=a^x\;$% не более трёх.

(7 Окт 16:57) FEBUS

@FEBUS Не могли бы вы,подсказать принцип решения ? И еще ,тут надо указать соответсвующие значения параметра,но возможно я это сам смогу сделать

(7 Окт 18:24) jao

Использовать свойства функций.

(7 Окт 18:41) FEBUS

@jao: надо записать уравнение как x ln(a)=a ln(x). Это пересечение графика логарифма и прямой. Решений не больше 2 по причине выпуклости. При a=e имеет место касание, и там решение одно. Также надо разобрать случаи типа a > 1, a < 1, чтобы увидеть, сколько там решений.

(7 Окт 19:35) falcao

@falcao Можете,пожалуйста,показать как разобрать,например случай а > 1 ?

(7 Окт 19:44) jao

@jao: у Вас уравнение имеет вид ln(x)=kx, где k=ln(a)/a. Функция от a при a > 1 принимает значения из (0;1/e]. Максимум у неё при x=e, что видно при помощи производной. Теперь рисуем график логарифма и проводим разные прямые вида y=kx. Касательная в точке x=e соответствует случаю k=1/e. Там будет одно решение. Для прочих значений k будет две точки пересечения прямой и кривой. Их не больше двух по причине выпуклости. Но их и не меньше, так как прямая пройдёт ниже касательной. Одно решение будет между 0 и e, а второе где-то далеко, так как линейная функция обгоняет логарифм на бесконечности.

(8 Окт 0:22) falcao

@falcao Спасибо!

(8 Окт 7:12) jao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,209
×596

задан
7 Окт 15:25

показан
75 раз

обновлен
8 Окт 7:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru