В пространстве $%W_2^1[−1; 1]$% найти ортогональное дополнение к подпространству $%H_0 = \{ y \in W_2^1[-1, 1] : y(t) = 0 , t \le 0 \}$%.

задан 7 Окт 15:34

@all_exist, я финитные не приплетал, тут конфликт обозначений. $%H_0$% обозначено в постановке задачи исходное подпространство. Там внизу у меня комментарии закончились))

(9 Окт 19:45) caterpillar

@caterpillar, пардон... я и забыл про обозначения в условии...

Ну, если $%y_n\to y$% и $%y_n\in C_1$%, то силу того, что дифференцируемые функции плотны в $%H^1$%, то найдётся последовательность $%Y_n\in H^1$%, для которой $%\|y_n-Y_n\| < \frac{1}{n}$%... то есть $%Y_n\to y$%...

Вроде так...

(9 Окт 19:58) all_exist

@all_exist, я хочу доказать, что условие $%(x,y)=0$% верно не только для гладких функций $%y$%, лежащих в $%H_0$%, а для произвольных. Для этого хочется перейти к пределу в $%(x,y_n)=0$%, где $%y_n$% -- последовательность гладких функций, поскольку для таких функций ортогональность доказана. Но наталкиваюсь на то, что $%y_n$% не обязаны лежать в $%H_0$%. А чем тут поможет переход к $%Y_n$%, которые тоже могут не лежать в $%H_0$%? (Короче, то ли лыжи не едут, то ли я этот самый))) А ведь там ещё и от гладкости $%x$% к общему случаю переходить надо будет.

(9 Окт 20:08) caterpillar

по-моему, Вы всё слишком усложняете... хотя у меня тоже могу не ехать лыжи... )))

(9 Окт 20:49) all_exist

@all_exist, ну а как тогда плотность сюда прикрутить, если по определению не выходит? Так-то казалось, что это очевидно и лемма вар. исчисления встала, как родная (в предположениях гладкости и финитности) а полез в детали -- и нифига)) Может, задача не так проста, как казалось?

(10 Окт 4:23) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
2

Условие $% (x,y)=0 $% означает, что $$ \int \limits_{-1}^{1} \left( \frac{dx}{dt} \frac{dy}{dt}+xy \right) dt = \left( {\frac{dx}{dt}y} \right) \mid_{t=-1}^{1} + \int \limits_{-1}^{1} \left( -\frac{d^2 x}{dt^2}+x \right) y dt = $$ $$ = \frac{dx(1)}{dt} y(1) - \int \limits_{0}^{1} \left( \frac{d^2 x}{dt^2}- x \right) y dt=0, $$ т.е. $$ x \in H_0^{\perp} \Leftrightarrow \cases{\frac{d^2 x}{dt^2}-x = 0, \; 0 < t < 1, \\ \frac{d x(1)}{dt}=0. } $$ Значит, $$ H_0^{\perp} = \{ x \in W^1_2[-1;1] : x(t) = C \text{ch} (1-t), \; 0 \le t \le 1 \}. $$

ссылка

отвечен 8 Окт 0:35

изменен 8 Окт 0:51

@splen, поясните, пожалуйста, как произошёл переход к дифуру с граничным условием? Почему по отдельности слагаемые равны нулю? Моё предположение -- из-за произвольности y можно выбрать y(1)=0, а на оставшейся части совпадающей со скобкой под интегралом и наоборот, но я не уверен.

Второй вопрос, почему Вы рассматриваете действительное пространство, разве по умолчанию не предполагается, что пространство комплексное?

(8 Окт 6:59) caterpillar

@caterpillar, мне думается, что по умолчанию пространство как раз действительное, а комплекснозначность оговаривается дополнительно...

Что касается перехода к диффуру, то я бы сослался на основную лемму вариационного исчисления...

(8 Окт 8:10) all_exist

@all_exist, видимо, тут кого как учили) У нас единственный (который с ходу припоминаю) случай, когда отдельно оговаривалась действительность -- это была теорема Хана-Банаха и следствия касательно отделимости выпуклых множеств. Всё остальное было по умолчанию комплексным и вроде работало.

Насчёт леммы вариационного исчисления я не уверен, там же хотя бы непрерывность нужна (если вообще не гладкость). Или тогда ещё плотность непрерывных функций подключается? Тогда как-то слишком сложно выходит.

(8 Окт 8:21) caterpillar

ну, комплексность это на любителя... )))

насчёт леммы... ну, гладкие и финишные в исходное множество входят, следовательно скобка под интегралом равна нулю... а потом говорим, что не финишные тоже входят, следовательно, внеинтегральное слагаемое тоже нуль..

по хорошему надо ещё помахать руками про то, что рассуждения проводятся на всюду плотном множестве...

(8 Окт 8:36) all_exist

Всё равно, это не столь уж очевидно, чтобы хотя бы не упомянуть. Мне кажется, @splen имел ввиду что-то другое, причём очень простое, раз ни словом не обмолвился))

(8 Окт 8:48) caterpillar

@caterpillar, а по мне так очень типовое рассуждение... я бы тоже не упомянул... )))

(8 Окт 8:56) all_exist

@caterpillar, функции, обращающиеся в нуль в окрестности $%t=1,$% плотны в $% W_2^1[-1;1]. $% Поэтому выражение в скобках под интегралом должно обращаться в нуль, что даёт д.у., а значит, и внеинтегральный член сам по себе равен нулю, что приводит к г.у. Это рассуждение казалось мне стандартным и не требующим пояснений (по крайней мере, до тех пор, пока вопрос не задан явно). Пространство $% W^1_2[-1;1] $% можно считать комплексным (наверное, по умолчанию он - комплексно), но единственное, что это даст, - это комплексное сопряжение над $%y$%, но все выводы сохраняются. Можно писать черту.

(8 Окт 14:39) splen

@splen, @all_exist, вот такая разница восприятий) По моему мнению объяснение того, как получена краевая задача -- это самый нетривиальный тут факт, а остальное можно было вообще не расписывать))

@splen, спасибо за разъяснения.

@all_exist, Вам спасибо тоже, с леммой вариационного исчисления всё получается.

(8 Окт 15:16) caterpillar

@splen, нашёл эту задачу в задачнике Бородина, Савчука и Шейпака (задача 3.38-а). Они приводят ответ x(t)=0 при t>=0. Если интересно, скачать можно здесь (задача в части первой, а ответ -- во второй). Ничего не понимаю, вроде и у Вас всё логично. Кто неправ?

(8 Окт 18:27) caterpillar

Мне тоже пока неясно, в чём дело.

(8 Окт 18:46) splen

По идее, если проинтегрировать по частям на [0,1], с учётом дифура и одного краевого условия, получается второе нулевое краевое условие.

(8 Окт 19:07) caterpillar

Я тоже не понял указанного ответа...

Различие в условии только в виде неравенства - здесь $%t\le 0$%, а в задачнике $%t < 0$%... но это не должно сказаться, ведь пространство$%W_2^1(-1;1)$% (оно же $%H^1(-1;1)$%) непрерывно вкладывается в $%C[-1;1]$%... Поэтому $%y(0)=0$% и никакого дополнительного граничного условия на $%x'(0)$% не возникает...

(8 Окт 22:17) all_exist

@all_exist, @splen, объясните, пожалуйста для тупых (т.е. для меня). Пока всё на пальцах, казалось очевидно, но вот решил сесть разобраться и не получается. Вот у нас для $%\{x\in W_2^1\bigcap C^2:x(t)=C\text{ch}(1-t),t\geq0\}$% при всех $%y\in H_0\bigcap C^1$% получено $%(x,y)=0$%. А как дальше использовать плотность-то? Ясно, что, если $%y\in H_0$%, то найдётся последовательность $%y_n\in C^1$% такая, что $%y_n\to y$%, но ведь $%y_n$% не обязана лежать в $%H_0$%, чтобы можно было переходить к пределу в $%(x,y_n)=0$%.

(9 Окт 15:37) caterpillar

@all_exist, я не силён в обозначениях через H, да ещё и с индексом внизу.. нолик внизу ещё знаю, а вот двойку.. Понимаю, что жутко туплю, но причём тут полнота?

(9 Окт 19:33) caterpillar

@caterpillar, ну, это я не туда индекс написал... $%H^k = W_2^k$% ...

Кстати, а зачем Вы финитные функции сюда приплели?... у игрека в единице нет нулевого значения...

(9 Окт 19:42) all_exist
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×478

задан
7 Окт 15:34

показан
129 раз

обновлен
10 Окт 4:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru