Пустьx1,x2, . . . ,x19– положительные вещественные числа . Известно, что 1\x1+1\x2+···+1\x19= 20 и x1+x2+···+x19= 20. Какое наибольшее значение может принимать выражение x1+1\x1?

задан 7 Окт 20:40

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для положительных чисел имеет место неравенство $%(a_1+\cdots+a_n)(\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n})\ge n^2$%. Это фактически неравенство о среднем арифметическом и среднем гармоническом. Его можно проверить раскрытием скобок с использованием того, что $%\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\ge2$% при $%i < j$%. Равенство имеет место, если все числа одинаковые.

Применяя неравенство к числам $%x_2$%, ... , $%x_{19}$%, имеем $%(20-x_1)(20-\frac1{x_1})\ge18^2$%, откуда $%x_1+\frac1{x_1}\le\frac{20^2-18^2+1}{20}=\frac{77}{20}$%. Квадратное уравнение $%x+\frac1x=\frac{77}{20}$% имеет положительное решение $%x < 4$%, которой в явной форме можно не находить, полагая далее $%x_1=x$%, $%x_2=\cdots=x_{19}=\frac{20-x}{18} > 0$%, то есть равенство достигается.

ссылка

отвечен 8 Окт 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Метод множителей Лагранжа даёт, что максимум выражения должен достигаться при $%x_2=\ldots=x_{19}$%... тогда решаем систему $$ \begin{cases} x_1+18x_2=20 \\ \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{18}{x_2}=20 \end{cases} $$ красивого ответа вроде не получается, но вполне решаемо...

ссылка

отвечен 7 Окт 22:34

@all_exist: тут "иксы" иррациональные, но x1+1/x1 хорошее. Оно равно 77/20.

(7 Окт 23:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%x_1 + \frac{1}{x_1}=3 \;\; $% при $% \;x_1= \frac{1}{x_2} = \frac{3+ \sqrt[]{5} }{2};\; x_3=x_4=...=x_{19}=1. $%

ссылка

отвечен 7 Окт 23:12

@FEBUS Вы решали методом множителей Лагранжа или по-другому ?

(7 Окт 23:32) potter

По-другому.

(7 Окт 23:40) FEBUS

@FEBUS: значение 3 здесь не наибольшее. Можно достичь почти что 4 (а именно, 77/20).

(7 Окт 23:42) falcao

@falcao : Согласен.

(8 Окт 1:22) FEBUS
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,209

задан
7 Окт 20:40

показан
115 раз

обновлен
8 Окт 1:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru