Действительные числа $%x$%; $%y$% удовлетворяют неравенствам $%1 \leq x^2+y^2 \leq 2$%. Найти минимальное и максимальное значения выражения $%x^2+xy+y^2$%.

задан 7 Окт 22:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

x^2+y^2<=2; xy<=(x^2+y^2)/2<=1; S=x^2+y^2+xy<=3. Равенство достигается при x=y=1.

В другую сторону: -xy>=-(x^2+y^2)/2; S>=(x^2+y^2)/2>=1/2. Равенство достигается при x=sqrt(2)/2, y=-sqrt(2)/2.

Можно ещё через полярные координаты: S=r^2(1+sin(2ф)/2). Выражение в скобках от 1/2 до 3/2, r^2 от 1 до 2. Значит, сумма от 1/2 до 3, и понятно, что граничные значения достигаются.

ссылка

отвечен 7 Окт 23:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применяете метод множителей Лагранжа или приводите квадратичную форму к главным осям... получаете, что экстремумы достигаются в точках $%x=\pm y$%...

Остаётся найти такие точки на окружностях радиуса 1 и 2... подставить в выражение и выбрать максимум и минимум...

ссылка

отвечен 7 Окт 23:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ x^2+xy+y^2 = \frac{1}{2}(x^2+y^2) + \frac{1}{2}(x+y)^2 \ge \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} = (x^2+xy+y^2) \mid_{x=-y=\frac{\sqrt 2}{2}}; $$ $$ x^2+xy+y^2 = \frac{3}{2}(x^2+y^2) - \frac{1}{2}(x-y)^2 \le \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 = (x^2+xy+y^2) \mid_{x=y=1}. $$

ссылка

отвечен 8 Окт 1:46

изменен 8 Окт 1:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,374

задан
7 Окт 22:55

показан
102 раза

обновлен
8 Окт 1:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru