С помощью теоремы Штольца найти асимптотику последовательности $%x_n = \sum_{k = 1}^{n} k^m$%.

Для $%m > 0$% у меня получилась асимптотика $%\frac{k^{m+1}}{m+1}$% ($%\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{k^{m+1}}=\frac{1}{m+1}$%). Для m < 0 у меня не особо получается это сделать. Есть ли способ искать конструктивно асимптотику с помощью т. Штольца? (для m>0 получилось подбором)

задан 8 Окт 0:43

изменен 8 Окт 0:48

@GVolskiy: это всё делается стандартно через интегральные суммы. При m=-1 получится логарифм.

(8 Окт 0:47) falcao

@falcao, а без интегральных сумм можно как-то?

(8 Окт 0:49) GVolskiy

@GVolskiy: я предпочитаю мыслить как можно более стандартно. Это совершенно "рутинная" задача, и ответ сразу очевиден -- интеграл от функции. Не думаю, что теорема Штольца здесь открывает какие-то новые виды.

Кроме того, если нужна ещё более точная асимптотика (помимо главного члена), то на этот случай есть суммирование Эйлера - Маклорена.

(8 Окт 0:54) falcao

@falcao, может быть интегралы ещё не проходили или задача строго на теорему Штольца?

@GVolskiy, Ваше решение годится для всех m>-1. При m=-1 асимптотикой будет ln n. Если же m<-1 асимптотикой будет что-то типа 1/((-m-1)n^(-m-1)). Если без интегралов, то подбором (что, впрочем, не мешает использовать интеграл, а потом... ой, как-то так подобралось само). В этом последнем случае удобно перейти к параметру $%-m-1=a$%.

(8 Окт 6:26) caterpillar

@caterpillar: интегралы у нас изучались в школе, а теорема Штольца в обязательный курс анализа вообще не входила.

(8 Окт 10:28) falcao

@falcao, ну не до такой же степени, чтобы асимптотику считать) Или до такой? У нас а школе интегральные суммы не вводились, а интеграл определяли через Ньютона-Лейбница.

(8 Окт 11:50) caterpillar

@caterpillar: я сейчас уже не помню, в какой форме вводился определённый интеграл, но формула площади криволинейной трапеции была, и площадями ступенчатых фигур всё приближалось. Этой идеи здесь вполне достаточно.

(8 Окт 12:12) falcao

@caterpillar, @falcao, спасибо. Да, задание строго на т. Штольца. Собственно, там и правда через эту теорему легко показать что ln n будет асимптотикой данного ряда

(9 Окт 4:58) GVolskiy

(при m = -1)

(9 Окт 6:19) GVolskiy

@GVolskiy: а как Вы получили логарифм для оценки сумм вида 1+1/2+...+1/n? В каком виде была здесь применена теорема Штольца?

(9 Окт 9:21) falcao

@falcao, ну для сумм-то теорема Штольца как раз удобна, т.к. знак суммы при этом исчезает и остаётся одно слагаемое в числителе и разность логарифмов в знаменателе.

(9 Окт 10:14) caterpillar

Проблема только с тем, чтобы до этого логарифма додуматься.

(9 Окт 11:48) caterpillar

@caterpillar: я так и подозревал, что какая-то вещь должна возникнуть "ниоткуда", а потом её нужно вписать в формулу. Тогда это "суп из топора" :)

(9 Окт 12:27) falcao

@falcao, у нас такие задачи формулировались в стиле "докажите, что...", т.е. ответ уже давали заранее. Но сделать надо было по Штольцу. Ну и, естественно, это делалось только для первого члена асимптотики. А если ничего не дано, то смухлевать-то всё-равно можно, привлечь интеграл, а потом сказать, что типа догадался и по Штольцу)

(9 Окт 13:09) caterpillar
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,288
×303

задан
8 Окт 0:43

показан
87 раз

обновлен
9 Окт 13:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru