Найдите наименьшее натуральное $%n$% такое, что количество нулей, которыми оканчивается число $%(n+2019)!$%, на 2019 больше количества нулей, которыми оканчивается число $%n!$%.

задан 8 Окт 16:39

10|600 символов нужно символов осталось
5

Хорошо известно, что количество нулей, которым оканчивается m!, есть показатель степени при 5 в каноническом разложении факториала. Поэтому нас интересует наименьшее n, для которого этот показатель в разложении произведения (n+1)(n+2)...(n+2019) равен 2019. Для этого показателя есть известная формула f(1)+f(2)+... , где f(k) равно количеству чисел списка от n+1 до n+2019, делящихся на 5^k. Ясно, что f(1)<=404, f(2)<=81, f(3)<=17, f(4)<=4, и остальные слагаемые не больше 1. Понятно, что для получения 2019 в сумме таких единиц должно быть достаточно много, а именно, не меньше 2019-404-81-17-4=1513. Поэтому среди чисел списка имеется делящееся на 5^1517 число. Отсюда n+2019>=5^1517, и наименьшим подходящим значением будет n=5^1517-2019. Для него все f(k) принимают максимальные из указанных в неравенствах значений, и оно будет ответом. Оно, если не ошибаюсь, 1061-значное.

ссылка

отвечен 8 Окт 18:16

@falcao, большое спасибо и Гмар-Хатима-Това!

(8 Окт 18:25) Казвертеночка

@falcao, это означает "Хорошей Вам записи в Книге Жизни!"

(8 Окт 18:36) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru