4
1

а) Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот являются целыми числами?

б) А непрямоугольный треугольник с таким свойством?

в) А непрямоугольный и неравнобедренный?

задан 9 Окт 13:24

4

a) например , треугольники со сторонами $%(15m,20m,25m)$%

б) $%(25m , 25m, 30m)$%

в)$%(100m,75m,35m)$%

(9 Окт 14:34) potter
1

@potter, как пришли к третьему примеру?

(9 Окт 21:14) Пацнехенчик ...
2

@Пацнехенчик ..., можно так - берём две пифагоровы тройки, которые имеют одно одинаковое число, соответствующее катету...

Например, (5;12;13) и (12;35;37) ... составляем из них треугольник с высотой 12 и сторонами (13;37;40), который не прямоугольный и не равнобедренный... Стороны и одна высота целые, следовательно, две другие высоты рациональные... осталось растянуть треугольник, чтобы получить все высоты целыми...

(9 Окт 21:41) all_exist

@potter, @all_exist, большое спасибо!

(10 Окт 1:26) Казвертеночка

Дополнительный вопрос:

Насколько большим может быть отношение большей стороны к меньшей в таком треугольнике?

(13 Окт 23:00) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем говорить о рациональных длинах сторон и высот вместо целых. Получится, по сути, равносильная задача. Если длины сторон рациональные, то необходимо и достаточно потребовать рациональность площади. При этом рациональными оказываются косинусы и синусы всех углов, а также радиусы описанной R=abc/(4S) и вписанной r=S/p окружностей.

Треугольники с такими свойствами строятся в изобилии на основании несложной конструкции, которая в том или ином виде фигурировала на форуме в ряде задач. Возьмём R=1 и будем располагать точки на единичной окружности. Известно, что косинус и синус рационально выражаются через тангенс половинного угла по формулам (1-t^2)/(1+t^2) и 2t/(1+t^2). Поэтому достаточно взять центральные углы пропорциональными 4ф, где тангенс ф рационален -- скажем, равен 1/n при большом n. Тогда на окружности возникает сколь угодно мелкая "сетка" из точек. Можно взять одну точку (1,0), вторую под углом 4ф, третью -- под углом п-4ф. Понятно, что ни равнобедренного, ни прямоугольного треугольника при этом не появится, и вообще такие случаи -- скорее исключение. Отношение большей стороны к меньшей может принимать сколь угодно большие значения.

ссылка

отвечен 14 Окт 0:17

@falcao, огромное спасибо!

(14 Окт 0:55) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,164
×410
×213
×26
×9

задан
9 Окт 13:24

показан
143 раза

обновлен
14 Окт 0:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru