$$m, n \in \mathbb{Z}; \ \alpha, \beta \in \mathbb{N}$$ Известно, что: $$\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[m]{1 +\alpha x}-1}{\alpha x} = \frac{1}{m}; \ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[n]{1 +\beta x}-1}{\beta x} = \frac{1}{n}.$$ Каким образом мне преобразовать исходный предел, чтобы дойти до этих равенств и получить ответ?

задан 12 Окт '19 13:29

изменен 12 Окт '19 13:39

Один корень равен 1+ax/m+o(x), второй 1+bx/n+o(x). Перемножаем, вычитаем 1, делим на x.

(12 Окт '19 13:32) falcao

@falcao, что такое o(x)? Вы какой метод использовали?

(12 Окт '19 13:35) woodkeeper

@falcao, там должно в конце получится что-то вроде: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha\sqrt[m]{1 +\alpha x}-1}{\alpha x}+ \lim_{x \to 0}\frac{\beta\sqrt[n]{1 +\beta x}-1}{\beta x} = \frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}$$

(12 Окт '19 13:38) woodkeeper

@woodkeeper: falcao использовал формулу Тейлора. Если вам нужно решение именно в таком виде как вы написали, то в первом множителе можно отнять и прибавить единицу.

(12 Окт '19 13:56) asahi

Можно не ссылаться на формулу Тейлора, а только на эквивалентное определение предела. Если $%\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$%, то $%f(x)=A+o(1)$%, где $%o(1)$% -- обозначение бесконечно малой при $%x\to a$%.

(12 Окт '19 14:04) caterpillar

@woodkeeper: если Вы не знакомы с о-символикой, то имеет смысл её изучить, так как это удобный и часто используемый аппарат. Пока можете считать, что под o(x) скрывается выражение вида xu(x), где u(x) стремится к нулю. Тогда, если раскрыть скобки, в конце получится a/m+b/n.

(12 Окт '19 14:43) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначу для краткости первый корень как $%a$%, а второй как $%b$%... Тогда $$ \frac{ab-1}{x} = \frac{(ab-b)+(b-1)}{x} =\frac{(a-1)b}{x}+\frac{b-1}{x} $$ Расписывает предел суммы и произведения... И используете то, что Вам известно...

ссылка

отвечен 12 Окт '19 13:49

@all_exist, благодарю

(12 Окт '19 14:08) woodkeeper
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,951
×785

задан
12 Окт '19 13:29

показан
244 раза

обновлен
12 Окт '19 14:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru