В четырехугольник $%ABCD$% с диагоналями $%AC=21$% и $%BD=16$% вписана окружность радиуса $%56/9$%. Известно, что $%AB=AD$%. Найдите площадь треугольника $%ABD$%.

задан 2 Июн '13 2:07

изменен 2 Июн '13 23:43

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, из условия следует, что $%CB=CD$%. Действительно, при осевой симметрии относительно биссектрисы угла $%BAD$% точки $%B$% и $%D$% переходят друг в друга, вписанная окружность переходит сама в себя, и касательные $%BC$%, $%BD$% к окружности тоже переходят друг в друга. Отсюда следует, что точка $%C$% переходит в себя, и потому лежит на оси симметрии. Таким образом, диагональ $%AC$% будет осью симметрии.

Нам известна площадь четырёхугольника, а также радиус вписанной окружности. Из формулы $%S=pr$% находим полупериметр: $$p=\frac{S}{r}=\frac{21\cdot16}{2}\cdot\frac9{56}=27.$$ Таким образом, $%AB+BC=27$%. Пусть $%M$% -- точка пересечения диагоналей. Обозначим $%AM=x$%, тогда $%MC=21-x$%. Мы также знаем, что $%BM=MD=BD/2=8$%. Используя теорему Пифагора, составляем уравнение $$\sqrt{x^2+64}+\sqrt{(21-x)^2+64}=27.$$ Первое слагаемое перенесём с противоположным знаком в другую часть и возведём обе части в квадрат. После упрощений в обеих частях сократится $%x^2$%, и далее после деления на $%6$% возникнет уравнение $%9\sqrt{x^2+64}=7x+48$%. Его также возводим в квадрат, упрощаем, и после деления на $%32$% приходим к квадратному уравнению $%x^2-21x+90=0$%, корни которого равны $%6$% и $%15$%. Подстановкой в исходное уравнение проверяем, что они подходят. При этом стороны $%AB$% и $%BC$% будут равны $%10$% и $%17$% (в том или в другом порядке), и их сумма действительно равна $%27$%.

Площадь треугольника $%ABD$%, тем самым, равна $%AM\cdot BM$% (произведение высоты на половину основания), и принимает одно из двух значений $%6\cdot8=48$% или $%15\cdot8=120$%.

ссылка

отвечен 2 Июн '13 3:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Доброго дня)
Может, еще так.. От предыдущего решения, правда, мало чем отличается. Начало - точно такое же (falcao, извините, занимаюсь "плагиатом"=)): если в 4-угольник можно вписать окружность, и 2 смежные стороны - равные, то и 2 другие смежные стороны - тоже равные: $% CB=CD$%; и диагонали 4-угольника при этом перпендикулярны, а меньшая диагональ ( $%BD$% - общее основание двух равнобедренных треугольников ) точкой пересечения диагоналей поделилась пополам. И т.к. диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь 4-угольника = половине произведения диагоналей: $%S = 168$%
Обозначим $%AB = AD = x$% и $%CD =CB = y$% ( обозначения расходятся с предыдущим решением). Так же, как и в первом решении - находим, что сумма $%x+y = \frac{P}{2} =\frac{S}{r} = 27$%
(и я зачем-то повторила то, что уже было в первом решении =))
alt text

А потом - можно записать еще формулу Герона для треугольника $%ABC$% - его периметр $%P = 27 + 21 = 48$%, и площадь $%S1 = \sqrt{24(24-x)(24-y)3}$%, при чем известно, что эта площадь $%S1 = \frac{168}{2}= 84$%, т.е. 2-ое уравнение: $%6\sqrt{2(24-x)(24-y)} = 84$%, откуда $%(24-x)(24-y) = 98$% , т.е. получаем систему из 2 уравнений - в которой ( с учетом 1-ом уравнения $%x+y = 27$%) получим, что 2-ое уравнение сведется к $%xy = 170$%, т.е. решением системы будут пары $%(17,10)$% или $%(10,17)$%, т.е. длины сторон были 10 и 17, и диагональ $%AC$% точкой пересечения диагоналей поделилась на отрезки $%\sqrt{100- 64} = 6$% и $%\sqrt{289 - 64}=15$% (и площадь треугольника $%ABD$% - либо $%48$%, либо $%120$%)
(я о том, что, может, систему решать легче, чем уравнение.. а может, и не легче.. - не знаю =))

ссылка

отвечен 2 Июн '13 15:15

изменен 2 Июн '13 15:21

Я думаю, это равноценный подход. Он лучше в том смысле, что не требует громоздких вычислений. На самом деле, я сам решал по-другому (там вычисления были проще), но для объяснения выбрал тот способ, где изложение получалось короче.

(2 Июн '13 15:23) falcao

=) так Вы напишите, как решали )) как еще можно ?

(2 Июн '13 15:33) ЛисаА

@ЛисаА: Я только идею скажу -- подробно тут излагать нет необходимости. Пусть $%u$%, $%v$% -- это части диагонали $%AC$% (которые на самом деле 6 и 15). Тогда $%u+v=21$%, и из теоремы Пифагора $%x^2-u^2=y^2-v^2$%. Мы знаем ещё, что $%x+y=27$%. Тогда $%(x-y)(x+y)=(u-v)(u+v)$% из уравнения выше, то есть $%9(x-y)=7(u-v)$%. Cумма и разность чисел $%u$%, $%v$% выражаются через $%x$%, находим $%u$% и подставляем в уравнение $%x^2=u^2+64$%. Получится квадратное уравнение относительно $%x$%. Смысл в том, чтобы нигде не использовать знак радикала.

(2 Июн '13 18:48) falcao

)) идею поняла.. только цифры сейчас не досчитывала )) но да, и так тоже можно..

(2 Июн '13 19:13) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
0

А разве можно для ромбоида употреблять эту формулу S=pr ?

ссылка

отвечен 2 Июн '13 18:11

Можно, так как она верна для любого описанного многоугольника, и доказывается тем же способом: соединяем центр окружности с вершинами, и к каждому из треугольников применяем формулу "половина произведения основания на высоту", которая во всех случаях равна $%r$%.

(2 Июн '13 18:16) falcao

Спасибо,большое! не знал, у меня большая просьба объясните пожалуйста вот эту задачу, по аналогии не выходит На окружности радиуса 20 с центром в вершине C треугольника ABC взята точка P. Известно, что AB=25,AC=15,BC=20, а треугольники APC и BPC равновелики. Найдите расстояние от точки P до прямой AB,если известно,что оно меньше 25.

(2 Июн '13 18:31) Алекс Воленин

@Алекс Воленин: у меня открыто окно с этим вопросом, но тут сейчас большой наплыв, и я едва успеваю на всё отвечать. Постараюсь вскоре там изложить решение -- следите!

(2 Июн '13 18:49) falcao

СПАСИБОООООО!!!

(2 Июн '13 18:57) Алекс Воленин
10|600 символов нужно символов осталось
0

"и диагонали 4-угольника при этом перпендикулярны, а меньшая диагональ ( BD - общее основание двух равнобедренных треугольников ) точкой пересечения диагоналей поделилась пополам." Это следует принимать как данность из того, что в чет-ик можно вписать окружность?

ссылка

отвечен 2 Июн '13 20:30

Вообще-то такого рода вещи считаются очевидными. Но их нужно уметь доказывать. Я считаю, что проще всего выглядит рассуждение и использованием осевой симметрии. У меня в решении оно приведено -- можете посмотреть.

(2 Июн '13 20:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×542
×271

задан
2 Июн '13 2:07

показан
6298 раз

обновлен
2 Июн '13 20:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru