Помогите пожалуйста решить задачу и объясните условие пожалуйста. Оч надо!

Вот скриншот задачи - https://pastenow.ru/6YWTM Вот условия в письменном виде: Hom(<a>n; <b>m) =~ <c>|n, m| = 1 (c - цикл группы)

доказать, что группа всех гомоморфизмов из <a>n в <b>m изоморфна какой-то циклической группе (не могу расшифровать, |(n, m)| - это индекс этой группы, равный единице, или просто самостоятельная строчка) Не уверен, что правильно расфшивровал это эльфийское условие.

alt text

задан 16 Окт '19 0:14

изменен 16 Окт '19 0:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

Через (n,m) обозначают наибольший общий делитель чисел n, m. Там в условии просят доказать, что гомоморфизмы циклической группы порядка n в циклическую группу порядка m образуют циклическую группу порядка (n,m)=s. Индекса там нет (он обозначается в виде |G:H|), и единицы тоже там нет, а есть буква s. "Модульные" скобки над числом там тоже лишние.

Факт о количестве гомоморфизмов Z(n) в Z(m) достаточно стандартен, и часто рассматривался на форуме. Здесь же требуется доказать нечто иное. Прежде всего, нужно описать сам элемент c, то есть образующий новой циклической группы. Отметим также, что операция на множестве Hom(Z(n),Z(m)) задаётся обычным образом как fg(x)=f(x)g(x). Будем везде использовать мультипликативную форму записи, хотя аддитивная была бы, возможно, удобнее.

Гомоморфизм здесь задаётся однозначно образом элемента a. Он переводится в такую степень b^k элемента b, для которой b^{kn}=e, то есть kn делится на m. Положим n=dn', m=dm', где d=НОД(n,m). Тогда kn' делится на m', и ввиду взаимной простоты чисел n', m', получается, что k делится на m'. Возможные значения для k таковы: 0, m', 2m', ... , (d-1)m', и их ровно d. Поэтому имеется столько же гомоморфизмов. В качестве c берём гомоморфизм, для которого c(a)=b^{m'}. Все остальные гомоморфизмы будут степенями c, так как c^i(a)=(c(a))^i=b^{im'}. Поэтому Нom(< a >,< b >) состоит из элементов c^0, c^1, ... , c^{d-1}, то есть являет собой циклическую группу порядка d=(n,m) с образующим c.

ссылка

отвечен 16 Окт '19 0:34

1

@falcao: Впечатление, что Вы здесь на окладе.

(16 Окт '19 1:10) FEBUS

@FEBUS: как раз нет -- работать (трудиться) я не люблю, и здесь у меня такая форма отдыха. Сейчас я параллельно выполняю работу (причём довольно срочную) -- составляю задачи для местной олимпиады. И всё время хочется отвлечься на форум :)

(16 Окт '19 1:43) falcao

@falcao: Какой уровень?

(16 Окт '19 1:56) FEBUS

@FEBUS: это то, что раньше называлась районной олимпиадой. Уровень средний. Классы от 6 до 11. Я этим делом лет 30 уже занимаюсь из года в год.

(16 Окт '19 2:01) falcao

@falcao: Будет нужно, рад буду помочь.

(16 Окт '19 2:08) FEBUS

@FEBUS: да у меня там всё уже готово -- я сейчас только редактирую уже написанное. Хотя в принципе мне бы не помешал какой-то "приток" более "свежих" задач.

(16 Окт '19 3:08) falcao

Спасибо @falcao

(17 Окт '19 16:26) JamesBong
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×66

задан
16 Окт '19 0:14

показан
166 раз

обновлен
17 Окт '19 16:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru