Как можно найти частичную сумму ряда с общим членом n^2/2^n? (n = 1, 2, ...)

задан 17 Окт '19 11:02

1

Сначала надо 1/2 заменить на x и рассмотреть ряд из n^2x^n. Выносим x, остаётся производная от nx^n. Снова выносим x, и остаётся производная ряда с известной суммой.

В ответе должно получиться 6.

(17 Окт '19 13:05) falcao

Насколько я понимаю, частичная сумма это не весь ряд...

(17 Окт '19 13:18) all_exist

@falcao, @all_exist, я имею в виду частичную сумму ряда, т.е. $$\sum_{n=1}^m \frac{n^2}{2^n}$$. Последовательность таких сумм при стремлении m к бесконечности и вправду стремится к 6. Но вот эту сумму как-то хотелось бы упростить, чтобы знака суммирования не было. (чтобы потом оценить выражение сверху). Вольфрам как-то её нашёл: https://cdn1.savepice.ru/uploads/2019/10/17/0c46a11b961148c45aa80822d885f88d-full.png

(17 Окт '19 13:58) Tiny Toon

Обозначьте сумму за S , затем умножьте на 2 , и запишите разность 2S-S

(17 Окт '19 14:25) potter
1

@Tiny Toon: для конечных сумм действует тот же способ. Берёте конечную сумму 1+x+...+x^n вместо ряда, суммируете. Она равна (x^{n+1}-1)/(x-1). Потом дифференцируете, умножаете на x, ещё раз дифференцируете, ещё раз умножаете на x. Степень в конце снова будет n-я. В результат подставляете x=1/2. Все эти приёмы стандартны.

(17 Окт '19 17:19) falcao
1

@falcao, после того, как заметил Ваш первый ответ, проделал те же самые действия для нахождения частичной суммы (мне показалось, что вот точно должно получиться), но получил не тот ответ (возможно, поторопился), сейчас пересчитал и всё сошлось, спасибо!

(17 Окт '19 19:35) Tiny Toon
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×841

задан
17 Окт '19 11:02

показан
324 раза

обновлен
17 Окт '19 19:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru