множества - Борелевская сигма алгебра

@Квантиль: есть известное описание открытых множеств на прямой. Это объединение попарно не пересекающихся открытых интервалов, включая лучи. В каждом таком интервале есть своя рациональная точка, поэтому объединение не более чем счётно.

Способы получения отрезка из интервалов, или интервала из полуинтервалов, всецело стандартны. Скажем, объединяя [a+1/n,b) по всем n>=n0, мы получаем (a,b).

@falcao, спасибо. А не подскажете как показать тоже самое в R^n? Т.е. доказать что из открытых шаров можно составить любое открытое мн-во в R^n?

@Квантиль: здесь достаточно использовать тот факт, что топология в R^n имеет счётную базу -- множество шаров рационального радиуса с рациональным центром. Любое открытое множество нетрудно представить в виде объединения таких основных множеств.

@falcao, спасибо, а если я не знаком с топологией и этим фактом? можно ли обойтись обычным матанализом и теорией множеств?

@Квантиль: а это и есть обычный матанализ. Считайте тогда, что я про топологию ничего не говорил (хотя там основные определения и аксиомы занимают не больше страницы), и примените сказанное в привычном Вам смысле.