Добрый день, пытаюсь решить задачу ниже и возникли два вопроса. Само определение борелевской сигмы-алг. тут.

В первом пункте, понятно как из открытых интервалов получить любое счетное объединение открытых интервалов, но что если их несчетное число?

Во втором пункте, я понимаю как получить открытый интервал из отрезка используя операции отрицания, объединения и пересечения, но вот в третьем пункте с полуинтервалом что-то не получается, что делать?

alt text

задан 17 Окт '19 13:40

изменен 17 Окт '19 14:15

1

@Квантиль: есть известное описание открытых множеств на прямой. Это объединение попарно не пересекающихся открытых интервалов, включая лучи. В каждом таком интервале есть своя рациональная точка, поэтому объединение не более чем счётно.

Способы получения отрезка из интервалов, или интервала из полуинтервалов, всецело стандартны. Скажем, объединяя [a+1/n,b) по всем n>=n0, мы получаем (a,b).

(17 Окт '19 18:14) falcao

@falcao, спасибо. А не подскажете как показать тоже самое в R^n? Т.е. доказать что из открытых шаров можно составить любое открытое мн-во в R^n?

(17 Окт '19 21:55) Квантиль
1

@Квантиль: здесь достаточно использовать тот факт, что топология в R^n имеет счётную базу -- множество шаров рационального радиуса с рациональным центром. Любое открытое множество нетрудно представить в виде объединения таких основных множеств.

(17 Окт '19 22:26) falcao

@falcao, спасибо, а если я не знаком с топологией и этим фактом? можно ли обойтись обычным матанализом и теорией множеств?

(17 Окт '19 23:31) Квантиль

@Квантиль: а это и есть обычный матанализ. Считайте тогда, что я про топологию ничего не говорил (хотя там основные определения и аксиомы занимают не больше страницы), и примените сказанное в привычном Вам смысле.

(18 Окт '19 0:03) falcao

@falcao не подскажете где можно об этом почитать? (в наиболее доступной форме)

(18 Окт '19 2:28) Квантиль

@Квантиль: здесь никаких дополнительных знаний не требуется (хотя сама по себе эта область достаточно обширна). Тот факт, о котором я говорю, совсем элементарен, и основан на всем известном факте, что Q плотно в R. Такого рода вещи в доказательствах обычно используются по ходу дела как нечто стандартное.

Если же Вы имеете в виду основы общей топологии, то есть много учебников по этой теме. Хотя какие-то первичные определения есть где угодно -- даже в Википедии.

(18 Окт '19 2:41) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,328
×737

задан
17 Окт '19 13:40

показан
751 раз

обновлен
18 Окт '19 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru